Matematyka.pl

Rozstrzygnij które pary zbiorów są równoliczne:
a) \(\displaystyle{ \RR \setminus \NN}\) i \(\displaystyle{ \RR}\)
b) \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0,1\right\} }\) i \(\displaystyle{ \RR^2}\)
c) \(\displaystyle{ (0,1) \cap \QQ}\) i \(\displaystyle{ \RR}\)
d) \(\displaystyle{ (0,1) \times (0,1)}\) i \(\displaystyle{ \CC}\)
e) \(\displaystyle{ \left\{ x:x^2 \in \NN\right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ x^2:x \in \RR\right\} }\)
f) \(\displaystyle{ \RR \times \RR}\) i \(\displaystyle{ \QQ \times \RR}\)
g) zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) i zbiór liczb pierwszych.

No to tutaj pary zbiorów równolicznych to: a) b) d) f) g) zgadza się? No dobrze, ale czy można to jakoś w miarę łatwo uzasadnić bez szukania odpowiedniej bijekcji? Bo ja to mniej więcej czuję, które zbiory są równoliczne, a które nie, ale nie wiem czy bym potrafił wskazać odpowiednią bijekcję. Może jest jakiś prostszy sposób?

Dodano po 2 godzinach 28 minutach 28 sekundach:
Podbijam pytanie. Jak sobie poradzić na przykład z tym a) b) c)?

max123321 pisze: 11 cze 2024, o 23:28No to tutaj pary zbiorów równolicznych to: a) b) d) f) g) zgadza się?

Tak. Choć opis zbioru \(\displaystyle{ \{x:x^2\in\NN\}}\) jest dla mnie umiarkowanie dobry.

max123321 pisze: 11 cze 2024, o 23:28No dobrze, ale czy można to jakoś w miarę łatwo uzasadnić bez szukania odpowiedniej bijekcji? Bo ja to mniej więcej czuję, które zbiory są równoliczne, a które nie, ale nie wiem czy bym potrafił wskazać odpowiednią bijekcję. Może jest jakiś prostszy sposób?

Szukanie bijekcji to zazwyczaj najgorszy sposób.

Często najwygodniej jest pokazać, że oba te zbiory są równoliczne z tym samym trzecim zbiorem. Dodatkowo tw. Cantora-Bernsteina to podstawa.

Np. w a) masz \(\displaystyle{ \RR\sim(0,1) \subseteq \RR\setminus \NN \subseteq \RR}\), więc \(\displaystyle{ |\RR|=|(0,1)|\le|\RR\setminus \NN|\le| \RR|}\), czyli z tw. C-B masz \(\displaystyle{ |\RR\setminus \NN|=| \RR|.}\)

JK

No ok, to w b) próbuję tak:
\(\displaystyle{ \RR\sim(0,1) \subseteq \RR \setminus \left\{ 0,1\right\} \subseteq \RR }\), zatem \(\displaystyle{ |\RR \setminus \left\{ 0,1\right\} |=c}\). A jak pokazać, że \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest równoliczne z \(\displaystyle{ \RR}\)?

Można \(\displaystyle{ \RR^2}\) zanurzyć w \(\displaystyle{ \RR^{\NN}}\) i pokazać nawet więcej. Mianowicie, że \(\displaystyle{ \left| \RR^{\NN}\right| =\mathfrak{c} }\). Ponieważ

• \(\displaystyle{ \left| \RR\right| = \left| \NN^{\NN}\right|}\) ( \(\displaystyle{ \omega^{\omega}}\) - przestrzeń Baire - liczby niewymierne - nieskończone ułamki łańcuchowe)

• \(\displaystyle{ \left| \NN^2 \right| = \left| \NN\right|}\) (Cantor pairing function - wężyk po kratce).

Zatem

Można zrobić surjekcję \(\displaystyle{ f:[0,1]\to[0,1]^2}\) (dla elementów \(\displaystyle{ (0,1]}\) wybieramy reprezentacje o nieskończonych rozwinięciach dziesiętnych, więc np. \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\)) następująco:

\(\displaystyle{ f(0)=(0,0)\\
f(0,a_1a_2a_3a_4...)=(0,a_1a_3a_5...,0,a_2a_4a_6...),}\)

gdzie \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3...}\) to kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby niezerowej.

Reszta jest prosta.

JK

A znając twierdzenie mówiące, że: \(\displaystyle{ \left( 2=\left\{ 0,1\right\} \right) ^{\NN}\sim \RR }\) można jeszcze prościej udowodnić, że płaszczyzna jest mocy continuum :
Łatwo jest zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} \times \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}\sim \left\{ 0,1\right\} ^{\NN};}\)
mając bowiem parę ciągów zero-jedynkowych \(\displaystyle{ \left( f _{n} \right) _{n \in \NN}}\) i \(\displaystyle{ \left( g _{n} \right) _{n \in \NN}}\) możemy utworzyć nowy ciąg \(\displaystyle{ \left( h _{n} \right) _{n \in \NN}}\) zero-jedynkowy:
\(\displaystyle{ \left( h _{n} \right)=\left( f _{0}, g _{0}, f _{1}, g _{1}, f _{2}, g _{2},\ldots \right);}\)
i możemy łatwo pokazać, że takie przypisanie jest bijekcją.
A zatem:
\(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} \times \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}\sim \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}.}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \RR ^{2}= \RR \times \RR\sim \left\{ 0,1\right\} ^{\NN} \times \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}\sim \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}\sim \RR.\square}\)