Matematyka.pl

Wierzę, że rzeczywistość matematyczna leży na zewnątrz nas, że naszą funkcją jest jej odkrywanie lub obserwowanie, a twierdzenia, które udowadniamy i które górnolotnie opisujemy jako nasze „twory”, są po prostu notatkami naszych obserwacji.

G. Hardy (1877-1947) matematyk


Jeden z najważniejszych matematyków angielskich (Littlewood, Ramsey, Russell).
W 1913 roku G.H. Hardy dostał niezwykły list od nieznanego mu Hindusa, Srinivasa Ramanujana, który pracował jako urzędnik w porcie w Madrasie. List zawierał wiele twierdzeń i wyników matematycznych, glównie z zakresu teorii liczb, które Hardy uznał za zarówno niesamowite, jak i tajemnicze. Po ich przeanalizowaniu razem Littlewoodem doszli do wniosku, że Ramanujan jest geniuszem i samoukiem, którego twierdzenia były głębokie i nowatorskie.
Ramanujan na zaproszenie Anglików przybył do Trinity College w Cambridge w rok później. Oprócz teorii liczb zajmowali się wspólnie teorią funkcji i analizą.
Jednym z najważniejszych osiągnięć Hardy'ego i Littlewooda jest hipoteza dotycząca rozkładu liczb pierwszych bliźniaczych. Chociaż hipoteza ta pozostaje nierozstrzygnięta, dostarczyła wielu cennych wyników i narzędzi w badaniach nad liczbami pierwszymi. Hardy wniósł też znaczący wkład w badanie funkcji zeta Riemanna, szczególnie w kontekście hipotezy Riemanna. W 1914 roku Hardy udowodnił, że funkcja zeta ma nieskończenie wiele zer na linii krytycznej, co było ważnym krokiem w kierunku zrozumienia rozkładu liczb pierwszych. Hardy dokonał również ważnych badań w teorii nieskończonych szeregów. Jego książka Divergent Series z 1949 roku jest klasycznym dziełem w tej dziedzinie, w którym analizuje właściwości i zastosowania szeregu rozbieżnych.



Apologia matematyka
Jaki ma być dowód matematyczny? :

Jakie czysto estetyczne cechy możemy wyróżnić w takich twierdzeniach, jak twierdzenia Euklidesa i Pitagorasa ? Zarysuję tylko parę luźnych uwag. W obu twierdzeniach (nie wyłączając, rzecz jasna ich dowodów) napotykamy sporo niespodzianek, połączonych z nieuchronnością i oszczędnością sformułowań. Ich tezy przybierają bardzo dziwną i zaskakującą postać; środki użyte w dowodach sprawiają wrażenie dziecinnie prostych w porównaniu z ich doniosłymi skutkami; od wniosków nie można jednak uciec. Nie ma zawiłości szczegółu - w każdym przypadku wystarczy jedna linia ataku. Dotyczy to również dowodów wielu trudniejszych twierdzeń, których pełne docenienie wymaga dużej fachowości. Spora liczba wariantów w dowodzie twierdzenia matematycznego nie jest pożądana: wyliczanie przypadków stanowi jedną z wręcz nudniejszych form matematycznego dowodzenia. Dowód matematyczny powinien przypominać wyraźną i uporządkowaną konstelację, nie zaś rozproszony rój gwiazd na Drodze Mlecznej.

Ranking Hardyego
G H Hardy zwykł oceniać w skali 1-100 punktów talent matematyków, sobie przyznając 25, Littlewood miał u niego 30, Hilbert 80, a tylko Ramanujan 100.


Lista sześciu życzeń Hardy'ego
1) udowodnić hipotezę Riemanna
2) nie uzyskać 211 autów na owalu podczas czwartej serii serwów w trakcie sparingu
3) znaleźć argument na nieistnienie Boga, który będzie przekonujący dla ogółu ludzkości
4) być pierwszym człowiekiem na Mount Everest
5) zostać pierwszym prezydentem ZSRR, Wielkiej Brytanii i Niemiec
6) zabić Mussoliniego



Osobowość
Hardy nigdy się nie ożenił i nie miał dzieci. Jego życie było całkowicie poświęcone matematyce. Wydaje się, że unikał bliższych relacji osobistych, co pozwalało mu skupić się na pracy naukowej. Był osobą introwertyczną i dość skrytą. Hardy często unikał dużych zgromadzeń i wolał spędzać czas w towarzystwie wąskiego grona przyjaciół oraz współpracowników matematycznych. Znany był z zamiłowania do gry w krykieta, którą traktował jako swoją jedyną rozrywkę poza matematyką. Hardy miał kilka bliskich przyjaźni w świecie matematyki. Jedną z najważniejszych była jego przyjaźń z Johnem Littlewoodem, z którym współpracował przez wiele lat. Ich współpraca była niezwykle owocna i doprowadziła do wielu znaczących wyników w matematyce. W późniejszych latach Hardy zmagał się z problemami zdrowotnymi, co miało wpływ na jego działalność naukową. Pod koniec życia cierpiał na depresję, co było częściowo spowodowane jego malejącymi zdolnościami matematycznymi. Nie wierząc w Boga prowadził różne rozważania teoretyczne na Jego temat; w tym i nie tylko zresztą w tym przypominał Erdosa.


film (TouTube) The Mind of a Mathematician (Umysł matematyka)

Ramanujan link wielcy-matematycy-f72/srinivasa-ramanuj ... 19068.html

źródła: Robert Kanigel - Człowiek, który poznał nieskończoność

Hardy nigdy się nie ożenił i nie miał dzieci. Jego życie było całkowicie poświęcone matematyce.

Tak, ale niekoniecznie zachodzi tu implikacja od prawej do lewej. Z innych ciekawostek, Hardy był takim wojującym ateistą, że nie uczestniczył nawet w pogrzebach odbywających się w kaplicach. Możliwe, że traktował wejście do kaplicy jako grzech przeciwko ateizmowi.

niekoniecznie zachodzi tu implikacja od prawej do lewej.

Euler miał 13 dzieci i jeszcze znalazł czas na matematykę...

Oprócz teorii liczb zajmowali się wspólnie teorią funkcji i analizą.

• Formuła Hardy’ego-Ramanujana dla funkcji podziałów
• Opracowali asymptotyczne przybliżenie funkcji podziałów, czyli liczby sposobów przedstawienia liczb jako sumy składników.
• Ostateczna postać wzoru, podana później przez Rademachera. Jest to bardzo dokładne przybliżenie, które było przełomowe w teorii liczb.
Hipotezy Hardy'ego-Ramanujana o losowości liczb pierwszych
• Zaproponowali, że różnice między kolejnymi liczbami pierwszymi zachowują się losowo, co wpłynęło na późniejsze badania nad hipotezą Riemanna.
• Liczby Ramanujana
• Wspólnie badali funkcje modularne i rozwinęli teorię liczb tau Ramanujana, która doprowadziła do ważnych wyników w teorii form modularnych.
• Twierdzenie Hardy’ego-Ramanujana o normalnym rozkładzie czynników pierwszych
• Funkcje multiplikatywne, twierdzenie Waringa, aproksymacje
Udowodnili, że większość liczb naturalnych ma liczbę czynników pierwszych \(\displaystyle{ \omega(n)}\) bliską wartości iterowanego logarytmu
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \omega(n) \approx log \ log (n) }\), gdzie \(\displaystyle{ \omega(n) = \sum_{p |n} 1}\)

Dowód nie wprost to znacznie subtelniejszy gambit niż jakikolwiek szachowy gambit: szachista może poświęcić pionka lub nawet figurę, ale matematyk poświęca całą grę.

o dowodach nie wprost

Gdybym potrafił logicznie udowodnić, że za pięć minut umrzesz, oczywiście byłoby mi przykro. Jednak mój żal zostałby bardzo złagodzony przyjemnością pochodzącą z przeprowadzonego dowodu.

…do B. Russella


Idee matematyczne; cytat z Apologia matematyka

Drugą właściwością, której wymagałem od istotnej idei matematycznej, była głębia - jeszcze trudniejsza do zdefiniowania. Głębsze idee są zwykle trudniejsze do zrozumienia, lecz głębia i trudność to wcale nie to samo. Idee leżące u podstaw twierdzenia Pitagorasa i jego uogólnień są dość głębokie, ale żaden ze współczesnych nie uznałby ich za trudne. Z drugiej strony, twierdzenie może być z natury powierzchowne, a mimo to dość trudne do udowodnienia (jak wiele twierdzeń diofantycznych).
Wydaje się, że idee matematyczne ułożone są warstwowo, a idee w każdej warstwie powiązane zespołem relacji zarówno między sobą, jak i ze znajdującymi się powyżej i poniżej. Im niższa warstwa, tym głębsza (i zazwyczaj trudniejsza) idea. Tak więc idea liczby niewymiernej jest głębsza niż idea liczby całkowitej, a twierdzenie Pitagorasa jest z tego powodu głębsze od twierdzenia Euklidesa.

Głębia idei matematycznych