Wielomian a ułamki
: 8 cze 2024, o 17:49
Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach wymiernych taki, że \(\displaystyle{ W( \frac{1}{k} ) = \frac{1}{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,... }\) 
Może to jest dobrze, a może źle (l literally do not care). Jeśli jest źle to i tak jestem za głupi aby zrozumieć dlaczego.:
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ W}\) to taki wielomian. Wtedy (jako, że \(\displaystyle{ W}\) jest ciągły, a nawet analityczny) mamy
Oczywiście \(\displaystyle{ \xi_k\to 0}\), gdy \(\displaystyle{ k\to \infty}\). Zatem (znów z ciągłości, tym razem \(\displaystyle{ W^{''}}\)) mamy
Znów kładąc \(\displaystyle{ x=1/k}\) otrzymamy ciąg \(\displaystyle{ \xi_k}\) dążący do zera dla którego (z definicji) zachodzi
Czyli
A to sprzeczność. Wielomiany mają skończone pochodne.
- \(\displaystyle{ W(0)= \lim_{ k \to \infty } W\left( \frac{1}{k} \right) = \lim_{ k \to \infty } \frac{1}{k+1} =0,}\)
- \(\displaystyle{ W'(0)= \lim_{ k \to \infty } \frac{W(1/k) - W(0)}{1/k} = \lim_{ k \to \infty } \frac{k}{k+1} =1. }\)
\(\displaystyle{ W(x)= x+ \frac{ W''(\xi)}{2}x^2. }\)
Kładąc \(\displaystyle{ x=1/k}\) definiujemy ciąg \(\displaystyle{ \xi_k}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k} + \frac{ W''(\xi_k)}{2k^2}. }\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \xi_k\to 0}\), gdy \(\displaystyle{ k\to \infty}\). Zatem (znów z ciągłości, tym razem \(\displaystyle{ W^{''}}\)) mamy
- \(\displaystyle{ W''(0)= \lim_{ k \to \infty } W''(\xi_k) = \lim_{ k \to \infty } 2k^2\left( \frac{1}{k+1}- \frac{1}{k} \right) =- 2. }\)
\(\displaystyle{ W(x) = x -2x^2 + \frac{W'''(\xi)}{3!}x^3. }\)
Znów kładąc \(\displaystyle{ x=1/k}\) otrzymamy ciąg \(\displaystyle{ \xi_k}\) dążący do zera dla którego (z definicji) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k} - \frac{2}{k^2} + \frac{W'''(\xi_k)}{3!k^3}. }\)
Czyli
\(\displaystyle{ W'''(0)= \lim_{ k \to \infty} W'''(\xi_k) = \lim_{ k \to \infty} 3!k^3\left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k} + \frac{2}{k^2}\right) =\infty. }\)
A to sprzeczność. Wielomiany mają skończone pochodne.