Matematyka.pl

Zadanie brzmi:

Znajdź liczbę dwucyfrową spełniającą dwa warunki:
\(\displaystyle{ 1.}\) w wyniku dzielenia liczby przez sumę jej cyfr otrzymamy \(\displaystyle{ 6}\) i resztę \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ 2.}\) w wyniku dzielenia liczby przez iloczyn jej cyfr otrzymamy \(\displaystyle{ 5}\) i resztę \(\displaystyle{ 2}\)

Zapisałem to tak:
\(\displaystyle{ 6\left( x+y\right)+2=5\left( xy\right)+2 }\)

\(\displaystyle{ 6x+6y=5xy}\)

Ale do niczego mnie nie doprowadziło.. potrzebuję wskazówki

no to `x+y` musi byc podzielne przez `5`, a `xy` przez `2` i `3`. Dużo możliwości nie ma.

Liczba, których suma cyfr jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\) : \(\displaystyle{ 23,32,37,73,78,87}\) i z tych liczb tylko \(\displaystyle{ 32}\) spełnia ten warunek.

To chyba nie wszystkie. Zauważ że jeżeli \(\displaystyle{ xy}\) spełnia warunki, to \(\displaystyle{ yx}\) też. Gdzie posiałeś \(\displaystyle{ 64, 69}\)?

Liczby, więc, których suma cyfr jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\):
\(\displaystyle{ 14,41,23,32,19,91,28,82,37,73,46,64,78,87,69,96}\)

Dodano po 3 minutach 14 sekundach:
W takim razie mogą to być tylko liczby:\(\displaystyle{ 23,32,46,64,69,96}\)

Dodano po 59 minutach 56 sekundach:
Zgadza się?

Zamieszajmy w tym kotle …
Wstępnie zakładamy, że dwucyfrowa liczba to liczba w dziesiętnym systemie liczbowym. Jeśli przez \(\displaystyle{ x}\) oznaczymy pierwszą cyfrę (licząc od lewej strony), a drugą cyfrę przez \(\displaystyle{ y}\) to dwucyfrową liczbę możemy zapisać tak: \(\displaystyle{ 10x+y}\)
Zatem warunek a) zadania możemy zapisać np. tak:
\(\displaystyle{ \frac{10x+ y - 2}{x + y} = 6}\)
Rozwiązując to, otrzymamy dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ 32, 86}\)
Warunek b) zadania możemy zapisać np. tak:
\(\displaystyle{ \frac{10x + y - 2}{xy} = 5}\)
Skąd otrzymamy takie rozwiązania: \(\displaystyle{ 22, 32, 42, \ldots}\)
…

\(\displaystyle{ \begin{cases} 10x + y = 6(x+y) + 2 \\
10x + y = 5xy + 2 /\cdot5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 5y = 4x - 2 \\
50x + 5y = 5x \cdot 5y + 10 \end{cases}}\)

Drugie równanie:
\(\displaystyle{ 0 = 5x \cdot 5y - 50x - 5y + 10 = 5x(4x - 2) - 50x -(4x - 2) + 10}\)
\(\displaystyle{ 0 = 20x^2 - 10x - 50x - 4x + 2 + 10 = 20x^2 - 64x + 12 = 20x^2 - 60x - 4x + 12}\)
\(\displaystyle{ 0 = 20x(x-3) - 4(x - 3) = 4(x-3)(5x-1)}\)
Ponieważ zmienne są liczbami całkowitymi, to \(\displaystyle{ x = 3}\), \(\displaystyle{ y = (4x-2)/5 = 2}\)