Szatkowanie zbioru nieskończonego na nieskończoną liczbę zbiorów nieskończonych
: 1 cze 2024, o 15:19
W swym poprzednim topic'u obiecałem pokazać jak to się robi.
Do naszego tworzonego, zbioru zakwalifikujemy tylko p-liczby spełniające kryterium wynikłe z tego, jaką dają resztę z dzielenia przez jakąś wybraną / dobraną przez nas liczbę. Niekoniecznie pierwszą, może być złożona.
Użycie liczby pierwszej byłoby bardziej, że się tak wyrażę — eleganckie, ale zanadto by nas ograniczało.
[Dygresja on] Przykładowo można przywołać inną cechę selekcyjną. Otóż ciąg odwrotności liczb bliźniaczych już zbieżny jest [Dygresja off]
By zilustrować opisany pomysł podam przykład jego zastosowania.
Weźmy iloczyn 3 najmniejszych p-liczb, czyli \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5}\)
Reszta z dzielenia każdej większej od 30 p-liczby może przyjmować 29 różnych wartości. No i ze względu na ich wielkość — możemy przesiać nieskończony ich zbiór, i wykroić inny, nieskończony takoż!
A mając do dyspozycji 29 kryteriów, możemy je łączyć, zaliczając do naszej trzódki p-liczby o \(\displaystyle{ kilku różnych}\) wartościach reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 30.}\)
Dajmy na to że \(\displaystyle{ p\bmod 30\equiv 7}\) lub \(\displaystyle{ 11}\) lub \(\displaystyle{ 19}\) lub \(\displaystyle{ 24}\)...
A pozostałe odrzucamy...
W ten sposób można szatkować zbiór nieskończony na jego podzbiory, nieskończone takoż!
Idźmy dalej:
Dla każdej takiej grupy, tzn. określonej wielkością reszty z dzielenia przez 30 — mamy następujące, istotne w tym aspekcie cechy:
1. Owe grupy są rozłączne
2. każda jest nieskończona
3. Każda z nich ma element najmniejszy.
4. Z takich elementów najmniejszych — możemy zgromadzić sobie zbiór
5. Zbiór ten możemy rozszerzać, wybierając zamiast liczby tak małej, jak \(\displaystyle{ 30}\) — liczby coraz większe, a będą one wtedy miały coraz większą rozmaitość reszt z dzielenia
6. Proces opisany w punkcie 5 — możemy prowadzić w nieskończoność
Quod erat demonstrandum
Dodano po 12 minutach 20 sekundach:
W wywodzie powyższym z rozpędu przeoczyłem jedną sprawę, ale nadrabiam teraz.
Otóż gdy zwiększmy liczbę testową, która na początku miała wartość \(\displaystyle{ 30 }\) — i bierzemy jakąś znacznie już większą, aby badać reszty z dzielenia przez nią jeszcze wyższych p-liczb, to przecież liczby te, owe wyższe p-liczby, kwalifikowaliśmy wcześniej przy użyciu kryterium reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 30,}\) no i mogą się one powtórzyć, gdy zmienimy kryterium kwalifikacji, prawda?
Cóż, rada na to jest trywialnie prosta:
stosując kryterium \(\displaystyle{ 30}\) zbierać możemy tylko liczby nie przekraczające pewnego wyznaczonego \(\displaystyle{ pułapu!}\) powyżej niego będziemy bowiem stosować inne kryterium, nie gwarantujące \(\displaystyle{ rozłączności}\) wykrawanych zbiorów. A owa rozłączność ma w tym kontekście wymóg kategoryczny.
No, chyba dziura załatana...
Dodano po 7 godzinach 42 minutach 45 sekundach:
Widzę, że już kilkadziesiąt osób zajrzało, ale... nie skomentowało,
Ha!
— muszę bawić się sam...
(ta ram, tam, tam,
ta ram, tam, tam)
Tytuł topic'u ma coś z prowokacji, bo recepty na jego treści zrealizowanie — jednak \(\displaystyle{ nie}\) podałem.
Stosując zaproponowaną procedurę rekurencyjnie, i wspinając się w górę, osiągnie się tylko część z zapowiedzianych nieskończoności, oraz cech otrzymanych zbiorów.
1. Bez trudu da się ze zbioru p-liczb wykrawać zbiory nieskończone: \(\displaystyle{ true!}\)
2. Procedura gwarantuje, że będą one rozłączne. Tyż prawda...
3. Zwiększając granicę, podnosząc sufit (patrz foto), i jako przyrząd selekcyjny używając dużej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p_n}\)
a dokładniej funkcji \(\displaystyle{ na}\) niej: takiej oto \(\displaystyle{ p_n}\)#
otrzymać możemy ilość tych rozłącznych, nieskończonych zbiorów \(\displaystyle{ dowolnie.dużą}\)
4. Ale czy... \(\displaystyle{ nieskończoną?}\)
Uważam to za kwestię otwartą, i zapraszam do nieskrępowanego wyrażania opinii.
5. Tak produkowane zbiory mieć będą, of course — element(y) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ najmnniejsze.}\)
6. Z których możemy utworzyć \(\displaystyle{ zbiór.}\)
7. Ale skończony, czy \(\displaystyle{ nie?}\) oto jest py-ta-nie...
Zadawszy je — zamieniam się w słuch...
A propos
Nie możesz już edytować tego posta - właśnie to zrobiłem...
Ten fragment, zgodnie z wcześniejszym komentarzem, został przeniesiony do "Szpitala polowego..." (viewtopic.php?t=8316) - tam jest miejsce na różne żale.
______
Jako że efekty mojej żmudnej, i bynajmniej nie krótkiej pracy, poszły w diabły, to póki jeszcze mam je jako tako w pamięci, wpisuję ponownie.
Ponieważ zaproponowałem rozszerzenie metody na liczby wyższe, i to wyższe astronomicznie, to muszę dodać kilka wyjaśnień, natury metodologicznej.
Nasz strop, będzie na wysokości określanej przez użytą graniczną liczbę pierwszą, do tego poddaną funkcji \(\displaystyle{ primorial}\), która podaje iloczyn kolejnych liczb pierwszych, aż do liczby danej.
Jest to funkcja rosnąca dramatycznie szybko, bo w przeliczeniu na ilość tworzących ją czynników, rośnie tysiące razy szybciej, niż funkcja silnia.
Używana dalej zbudowana tak liczba, będzie miała zapewne dziesiątki tysięcy cyfr, i będziemy przez nią dzielić liczby \(\displaystyle{ jeszcze większe}\).
Nie przekracza to zdolności obliczeniowych komputerów domowych, acz oczywiście z zaznaczeniem, że jednak tych wypasionych.
Ale ludzie odmawiając sobie wiele, rezygnując z luksusów, kupują dziś komponenty, bo rzadko tego typu komputery sprzedaje się gotowy, więc składają sobie sami, komputery mające ponad 128 GB pamięci, z procesorami mającymi 64 rdzenie.
Ja mam 15-letniego Della, no więc cóż: zazdraszczam!
Ad rem: utworzona, \(\displaystyle{ x \cdot 1000}\)-cyfrowa liczba, będzie nam określać skalę trudności.
Będziemy przez nią dzielić liczby jeszcze większe, i otrzymywać reszty z dzielenia,
a tych reszt będzie tyle, ile wynosi wielkość tej liczby, minus 1.
W kroku kolejnym musimy zweryfikować, które z nich będą nam przydatne do dalszych działań, odrzucając te reszty, które są liczbami złożonymi, a zachowując tylko te, które są liczbami pierwszymi większymi od \(\displaystyle{ p_n}\), a mniejszymi od \(\displaystyle{ p_n}\)#
Jak widać więc, na moim staruszku Dellu, nie mam co nawet marzyć, aby coś takiego zrobić...
Do naszego tworzonego, zbioru zakwalifikujemy tylko p-liczby spełniające kryterium wynikłe z tego, jaką dają resztę z dzielenia przez jakąś wybraną / dobraną przez nas liczbę. Niekoniecznie pierwszą, może być złożona.
Użycie liczby pierwszej byłoby bardziej, że się tak wyrażę — eleganckie, ale zanadto by nas ograniczało.
[Dygresja on] Przykładowo można przywołać inną cechę selekcyjną. Otóż ciąg odwrotności liczb bliźniaczych już zbieżny jest [Dygresja off]
By zilustrować opisany pomysł podam przykład jego zastosowania.
Weźmy iloczyn 3 najmniejszych p-liczb, czyli \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5}\)
Reszta z dzielenia każdej większej od 30 p-liczby może przyjmować 29 różnych wartości. No i ze względu na ich wielkość — możemy przesiać nieskończony ich zbiór, i wykroić inny, nieskończony takoż!
A mając do dyspozycji 29 kryteriów, możemy je łączyć, zaliczając do naszej trzódki p-liczby o \(\displaystyle{ kilku różnych}\) wartościach reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 30.}\)
Dajmy na to że \(\displaystyle{ p\bmod 30\equiv 7}\) lub \(\displaystyle{ 11}\) lub \(\displaystyle{ 19}\) lub \(\displaystyle{ 24}\)...
A pozostałe odrzucamy...
W ten sposób można szatkować zbiór nieskończony na jego podzbiory, nieskończone takoż!
Idźmy dalej:
Dla każdej takiej grupy, tzn. określonej wielkością reszty z dzielenia przez 30 — mamy następujące, istotne w tym aspekcie cechy:
1. Owe grupy są rozłączne
2. każda jest nieskończona
3. Każda z nich ma element najmniejszy.
4. Z takich elementów najmniejszych — możemy zgromadzić sobie zbiór
5. Zbiór ten możemy rozszerzać, wybierając zamiast liczby tak małej, jak \(\displaystyle{ 30}\) — liczby coraz większe, a będą one wtedy miały coraz większą rozmaitość reszt z dzielenia
6. Proces opisany w punkcie 5 — możemy prowadzić w nieskończoność
Quod erat demonstrandum
Dodano po 12 minutach 20 sekundach:
W wywodzie powyższym z rozpędu przeoczyłem jedną sprawę, ale nadrabiam teraz.
Otóż gdy zwiększmy liczbę testową, która na początku miała wartość \(\displaystyle{ 30 }\) — i bierzemy jakąś znacznie już większą, aby badać reszty z dzielenia przez nią jeszcze wyższych p-liczb, to przecież liczby te, owe wyższe p-liczby, kwalifikowaliśmy wcześniej przy użyciu kryterium reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 30,}\) no i mogą się one powtórzyć, gdy zmienimy kryterium kwalifikacji, prawda?
Cóż, rada na to jest trywialnie prosta:
stosując kryterium \(\displaystyle{ 30}\) zbierać możemy tylko liczby nie przekraczające pewnego wyznaczonego \(\displaystyle{ pułapu!}\) powyżej niego będziemy bowiem stosować inne kryterium, nie gwarantujące \(\displaystyle{ rozłączności}\) wykrawanych zbiorów. A owa rozłączność ma w tym kontekście wymóg kategoryczny.
No, chyba dziura załatana...
Dodano po 7 godzinach 42 minutach 45 sekundach:
Widzę, że już kilkadziesiąt osób zajrzało, ale... nie skomentowało,
Ha!
— muszę bawić się sam...
(ta ram, tam, tam,
ta ram, tam, tam)
Tytuł topic'u ma coś z prowokacji, bo recepty na jego treści zrealizowanie — jednak \(\displaystyle{ nie}\) podałem.
Stosując zaproponowaną procedurę rekurencyjnie, i wspinając się w górę, osiągnie się tylko część z zapowiedzianych nieskończoności, oraz cech otrzymanych zbiorów.
1. Bez trudu da się ze zbioru p-liczb wykrawać zbiory nieskończone: \(\displaystyle{ true!}\)
2. Procedura gwarantuje, że będą one rozłączne. Tyż prawda...
3. Zwiększając granicę, podnosząc sufit (patrz foto), i jako przyrząd selekcyjny używając dużej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p_n}\)
a dokładniej funkcji \(\displaystyle{ na}\) niej: takiej oto \(\displaystyle{ p_n}\)#
otrzymać możemy ilość tych rozłącznych, nieskończonych zbiorów \(\displaystyle{ dowolnie.dużą}\)
4. Ale czy... \(\displaystyle{ nieskończoną?}\)
Uważam to za kwestię otwartą, i zapraszam do nieskrępowanego wyrażania opinii.
5. Tak produkowane zbiory mieć będą, of course — element(y) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ najmnniejsze.}\)
6. Z których możemy utworzyć \(\displaystyle{ zbiór.}\)
7. Ale skończony, czy \(\displaystyle{ nie?}\) oto jest py-ta-nie...
Zadawszy je — zamieniam się w słuch...
A propos
Nie możesz już edytować tego posta - właśnie to zrobiłem...
Ten fragment, zgodnie z wcześniejszym komentarzem, został przeniesiony do "Szpitala polowego..." (viewtopic.php?t=8316) - tam jest miejsce na różne żale.
______
Jako że efekty mojej żmudnej, i bynajmniej nie krótkiej pracy, poszły w diabły, to póki jeszcze mam je jako tako w pamięci, wpisuję ponownie.
Ponieważ zaproponowałem rozszerzenie metody na liczby wyższe, i to wyższe astronomicznie, to muszę dodać kilka wyjaśnień, natury metodologicznej.
Nasz strop, będzie na wysokości określanej przez użytą graniczną liczbę pierwszą, do tego poddaną funkcji \(\displaystyle{ primorial}\), która podaje iloczyn kolejnych liczb pierwszych, aż do liczby danej.
Jest to funkcja rosnąca dramatycznie szybko, bo w przeliczeniu na ilość tworzących ją czynników, rośnie tysiące razy szybciej, niż funkcja silnia.
Używana dalej zbudowana tak liczba, będzie miała zapewne dziesiątki tysięcy cyfr, i będziemy przez nią dzielić liczby \(\displaystyle{ jeszcze większe}\).
Nie przekracza to zdolności obliczeniowych komputerów domowych, acz oczywiście z zaznaczeniem, że jednak tych wypasionych.
Ale ludzie odmawiając sobie wiele, rezygnując z luksusów, kupują dziś komponenty, bo rzadko tego typu komputery sprzedaje się gotowy, więc składają sobie sami, komputery mające ponad 128 GB pamięci, z procesorami mającymi 64 rdzenie.
Ja mam 15-letniego Della, no więc cóż: zazdraszczam!
Ad rem: utworzona, \(\displaystyle{ x \cdot 1000}\)-cyfrowa liczba, będzie nam określać skalę trudności.
Będziemy przez nią dzielić liczby jeszcze większe, i otrzymywać reszty z dzielenia,
a tych reszt będzie tyle, ile wynosi wielkość tej liczby, minus 1.
W kroku kolejnym musimy zweryfikować, które z nich będą nam przydatne do dalszych działań, odrzucając te reszty, które są liczbami złożonymi, a zachowując tylko te, które są liczbami pierwszymi większymi od \(\displaystyle{ p_n}\), a mniejszymi od \(\displaystyle{ p_n}\)#
Jak widać więc, na moim staruszku Dellu, nie mam co nawet marzyć, aby coś takiego zrobić...
potrafi nieźle...