Matematyka.pl

Czy w dowolnym pierścieniu przemiennym \(\displaystyle{ A}\), w zbiorze podpierścieni rozłącznych z danym podzbiorem multiplikatywnym \(\displaystyle{ S \subset A}\) istnieje podpierścień maksymalny (w sensie inkluzji)
podzbiorem multiplikatywny to taki, że \(\displaystyle{ 1 \in S}\), \(\displaystyle{ 0 \notin S}\) i jeśli \(\displaystyle{ x, y \in S}\), to \(\displaystyle{ xy \in S}\).

Czyli przy takiej definicji rozważamy koniecznie podpierścienie bez jedynki, którą ma oryginalny pierścień, skoro jedynka zawsze należy do zbioru multyplikatywnego?

Algebraiczne domknięcia ciał skończonych nie mają maksymalnych podpierścieni (w normalnym sensie). Co gdyby wziąć sumę prostą takiego ciała z ciałem dwuelementowym i patrzeć na zbiór jednoelementowy zawierający zasadniczo jedynkę ze składnika izomorficznego z ciała dwuelementowego?