Matematyka.pl

Mam policzyć objętość stosując całkę podwójną:
\(\displaystyle{ z=x ^{2}+y ^{2}, xy=5, xy=10, y= \frac{1}{2}x, y = 2x}\)
Niestety nie wiem jak ograniczyć tę całkę. Mam problem bowiem z wyznaczeniem x - który pomoże mi obliczyć całkę oznaczoną. Z góry dziękuję za pomoc!

Bryła ograniczona jest z góry paraboloidą kołową \(\displaystyle{ z = x^2 + y^2, }\) z dołu płaszczyzną \(\displaystyle{ Oxy, }\) z boków powierzchniami cylindrycznymi \(\displaystyle{ xy= 5, \ \ xy = 10}\) oraz płaszczyznami \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x, \ \ y = 2x.}\)

Ze względu na symetrię względem płaszczyzny \(\displaystyle{ x+ y = 0 }\) - rozpatrujemy jedną jej część, leżącą w I oktancie kartezjańskiego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxyz.}\)

Rzut tej części na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy }\) jest czworokątem krzywoliniowym \(\displaystyle{ D, }\) ograniczonym krzywymi \(\displaystyle{ xy = 5, \ \ xy = 10 }\) oraz odcinkami prostych \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x, \ \ y = 2x, \ \ (z=0).}\)

Objętość bryły

\(\displaystyle{ |V| = 2\iint_{D} (x^2 + y^2) dx dy \ \ (1) }\)

Do obliczenia tej całki zastosujemy zamianę zmiennych.

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy = u, \\ y = vx \ \ (2) \end{cases} }\)

Zamiana ta pozwala przekształcić obszar \(\displaystyle{ D }\) na prostokąt \(\displaystyle{ \mathcal{P} =\left\{ 5 \leq u \leq 10, \ \ \frac{1}{2} \leq v \leq 2\right\}.}\)

Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (2) }\) względem zmiennych \(\displaystyle{ x, \ \ y. }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2v = u \\ y = v\left(\frac{u}{v}\right)^{\frac{1}{2}} \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = u^{\frac{1}{2}}\cdot v^{-\frac{1}{2}} \\ y = u^{\frac{1}{2}}\cdot v^{\frac{1}{2}} \end{cases}}\)

Obliczamy Jakobian przekształcenia:

\(\displaystyle{ \frac{D(x,y)}{D(u,v)} = \left| \begin{matrix} \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot v^{-\frac{1}{2}} & -\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}}\cdot v^{-\frac{3}{2}}\\ \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot v^{\frac{1}{2}} & \frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}}\cdot v^{-\frac{1}{2}} \end{matrix} \right|=\frac{1}{4}u^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot v^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} + \frac{1}{4} u^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\cdot v^{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}} = \frac{1}{4}v^{-1} + \frac{1}{4}v^{-1} = \frac{1}{2v}.}\)


Funkcję podcałkową w całce \(\displaystyle{ (1) }\) przedstawiamy w zmiennych \(\displaystyle{ u, \ \ v.}\)

\(\displaystyle{ (x^2 + y^2)\cdot \frac{D(x,y)}{D(u,v)} = \left(u^{\frac{1}{2}}\cdot v^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + \left(u^{\frac{1}{2}}\cdot v^{\frac{1}{2}} \right)^2\cdot \frac{1}{2v} = (u\cdot v^{-1} +u\cdot v)\cdot \frac{1}{2v} = \frac{1}{2} u \left(1 +\frac{1}{v^2}\right). }\)

Objętość bryły

\(\displaystyle{ |V| = 2\int_{5}^{10} u du \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{2}\cdot \left (1 +\frac{1}{v^2} \right) dv = \int_{5}^{10} u du \int_{\frac{1}{2}}^{2} \cdot \left (1 +\frac{1}{v^2} \right) dv = I_{1} + I_{2}.}\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \left(1 + \frac{1}{v^2} \right)dv = \left[ v - \frac{1}{v}\right]_{\frac{1}{2}}^{2} = 2 -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+2 = 3.}\)

\(\displaystyle{ I_{2} =|V| = \int_{5}^{10} 3udu = \frac{3}{2}\left[u^2\right]_{5}^{10} = \frac{3}{2}\cdot [100 -25] = \frac{3}{2}\cdot 75 = \frac{225}{2}=112,5.}\)