Symbol Legendre'a
: 27 maja 2024, o 07:47
Jak pokazać postać p, aby \(\displaystyle{ \left( \frac{-3}{p} \right) = +1}\) ? Jak by to było, gdyby zamiast \(\displaystyle{ -3}\) była inna postać, bardziej ogólna?
Kilka podstawowych faktów o symbolach Legendre'a pozwala łatwo obliczyć wartość dowolnego symbolu. Są to:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Multiplikatywność symbolu Legendre'a:
\(\displaystyle{ \left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \cdot \left( \frac{b}{p} \right)}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) Okresowość:
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{p} \right) = \left( \frac{b}{p} \right)}\) gdy \(\displaystyle{ a \equiv b \pmod{p}}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) Prawo wzajemności reszt kwadratowych:
\(\displaystyle{ \left( \frac{p}{q} \right) \cdot \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}}\) gdy \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ q}\) to różne, nieparzyste liczby pierwsze,
\(\displaystyle{ \bullet}\) Specjalne wartości:
\(\displaystyle{ \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \qquad \& \qquad \left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}.}\)
Na przykładzie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3}{p} \right) = \left( \frac{-1}{p} \right) \cdot \left( \frac{3}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{3}{p} \right)}\).
Jeśli \(\displaystyle{ p = 3}\), to wynikiem jest zero. W przeciwnym razie z prawa wzajemności reszt
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{p} \right) = \left( \frac{p}{3} \right) \cdot (-1)^{\frac{3-1}{2} \cdot \frac{p-1}{2}} = \left( \frac{p \bmod 3}{3} \right) \cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \left( \frac{-3}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{p \bmod 3}{3} \right) \cdot (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \left( \frac{p \bmod 3}{3} \right) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{3}, \\ -1 & \text{gdy } p \equiv 2 \pmod{3}. \end{cases}}\)