Matematyka.pl

Udowodnić, że z każdego nieskończonego zbioru krzywych wypukłych wspólnie ograniczonych można wyjąć ciąg zbieżny do krzywej wypukłej.

Funkcja wypukła na zbiorze domkniętym nie musi być ciągła

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 51 sekundach:
A w przypadku funkcji na `\RR` każda funkcja wypukła i ograniczona jest stała, więc zadanie jest trywialne

przypomnijmy, że przestrzeń \(K(B(0,1)) = \{K \subset B(0,1) \colon \text{$K$ jest zwarty}\}\) wyposażona w metrykę Hausdorffa \(d_H\) (tj. \(d_H(K,L)=\max(\inf\{\varepsilon>0 \colon L \subset K+B(0,\varepsilon)\}, \inf\{\varepsilon>0 \colon K \subset L+B(0,\varepsilon)\})\) jest zwartą przestrzenią metryczną (symbolem \(B(x,r)\) oznaczam koło domknięte o środku \(x\) i promieniu \(r\), a \(+\) oznacza sumę Minkowskiego zbiorów)

należy wykazać, że zbiór \(A = \{K\in K(B(0,1)) \colon \text{$K$ jest wypukły}\}\) jest zwartym podzbiorem \(K(B(0,1))\)

w tym celu wystarczy udowodnić, że \(A\) jest domkniętym podzbiorem \(K(B(0,1))\)

pokażemy, że dopełnienie \(A\) jest otwarte

jeśli \(K\notin A\), to \(K\) nie jest wypukły, czyli istnieją \(x_1,x_2\in K\) i punkt \(x \notin K\) na odcinku \(x_1x_2\), wtedy ze zwartości \(K\) wynika, że istnieje \(\varepsilon>0\) taki, że koło \(B(x,\varepsilon)\) jest rozłączne z \(K\)

wtedy kula \(\{L \colon d_H(K,L)<\varepsilon\}\) w \(K(B(0,1))\) jest rozłączna z \(A\) (jeśli \(L\) należy do tej kuli, to istnieją \(y_1, y_2\in L\) i \(y\notin L\) takie, że \(y_1\in B(x_1,\varepsilon)\), \(y_2\in B(x_2,\varepsilon)\), \(y\in B(x,\varepsilon)\) i \(y\) leży na odcinku \(y_1y_2\), zatem zbiór \(L\) nie jest wypukły)