Matematyka.pl

Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ D,E,F}\) to punkty symetryczne do punktu \(\displaystyle{ P}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC,CA,AB}\). Wykazać, że jeśli trójkąt \(\displaystyle{ DEF}\) jest równoboczny, to proste \(\displaystyle{ AD,BE,CF}\) przecinają się w jednym punkcie.

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania:

Punkt wspólny odcinka \(\displaystyle{ PF}\) i \(\displaystyle{ AB}\) nazwijmy \(\displaystyle{ G}\). Z cechy \(\displaystyle{ bkb}\) trójkąty \(\displaystyle{ APG}\) i \(\displaystyle{ AGF}\) są przystające, zatem \(\displaystyle{ AP=AF}\). Podobnie można wykazać, że \(\displaystyle{ AP=AE}\), a stąd \(\displaystyle{ AE=AF}\). Przez analogię można wykazać, że \(\displaystyle{ BF=BD}\) i \(\displaystyle{ CD=CE}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ EF}\) nazwijmy \(\displaystyle{ H}\). Ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ EAF}\) jest równoramienny, to \(\displaystyle{ AH}\) jest wysokością opuszczoną na podstawę w tym trójkącie. Dla odmiany odcinek \(\displaystyle{ DH}\) jest wysokością w trójkącie \(\displaystyle{ DEF}\), zatem prosta \(\displaystyle{ AD}\) zawiera wysokość trójkąta \(\displaystyle{ DEF}\) opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ D}\) na bok \(\displaystyle{ EF}\). Analogicznie można wykazać, że proste \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ CF}\) zawierają pozostałe wysokości trójkąta \(\displaystyle{ DEF}\), a jak wiadomo, w dowolnym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie. Zatem proste \(\displaystyle{ AD,BE,CF}\) przecinają się w ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ DEF}\).

Dobrze?

Dodano po 1 dniu 16 godzinach 19 minutach 57 sekundach:
Podbijam pytanie.

Stwierdzenie, że \(\displaystyle{ DH}\) jest wysokością w trójkącie \(\displaystyle{ D{}EF}\) jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ D{}EF}\) jest równoramienny. Rozwiązanie czytałoby się trochę lżej, gdybyś napisał, że z tego korzystasz (\(\displaystyle{ D{}EF}\) jest równoboczny, więc w szczególności równoramienny).

Wysokości nie zawsze przecinają się w jednym punkcie (pomyśl o trójkącie rozwartokątnym). Ale proste, na których leżą te wysokości...

No rozumiem, ale przy tych poprawkach to jest dobrze?

Moim zdaniem tak, nie widzę żadnych blefów.