Zbiór liczb rzeczywistych

owca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 lip 2007, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczerców
Podziękował: 3 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: owca » 24 paź 2007, o 19:09

W książce "Sztuka programowania" Donalda E. Knutha autor napisał że:
Liczba rzeczywista jest wartością, która ma rozwinięcie dziesiętne
\(\displaystyle{ x=n+0.d_1d_2d_3...,}\)
gdzie n jest liczbą całkowitą, każde \(\displaystyle{ d_i}\) jest cyfrą od 0 do 9 oraz ciąg cyfr nie kończy się nieskończenie wieloma dziewiątkami.
Wychodzi więc na to, że liczba 2.(9) nie jest liczbą rzeczywistą. Czy to prawda? Jak ją zatem nazwać?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: Piotr Rutkowski » 24 paź 2007, o 19:13

To raczej oznacza, że koleś miał chyba niezłe problemy z matmą , bo:
\(\displaystyle{ 2,(9)=3}\) co bardzo łatwo udowodnić

mms
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 21 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: mms » 24 paź 2007, o 19:25

Dowód tego że \(\displaystyle{ 2,9=3}\) może zrozumieć nawet uczeń podstawówki, więc na Twoim miejscu nie uczyłbym się z takiego ,,podręcznika".

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: micholak » 24 paź 2007, o 19:44

Hmm alez z tego nie wychodzi ze 2,(9) nie jest rzeczywiste, przecierz 2,(9) czyli 3 to jest 3+0.000000... itd. czyli ma szukane rozwiniecie, w reszte tego stwierdzenia nie bede sie sie wglebial, ale mi to sformulowanie brzmi jakos brzydko...

A to ze wyklucza sie nieskonczona ilosc 9 od pewnego momentu sluzy po prostu uzyskaniu jednoznacznosci

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: Piotr Rutkowski » 24 paź 2007, o 19:51

Raczej nie chodzi tu o żadną jednoznaczność. Powiem więcej, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczba ma na końcu nieskończenie wiele dziewiątek, to nawet musi być wymierna. Dzieje się tak, ponieważ jeśli mamy jakieś (Twoim zapisem) \(\displaystyle{ x=n+d_{1}d_{2}...d_{n}(9)=n+d_{1}d_{2}...d_{n}1}\), a z tego już doskonale widać, że liczba jest wymierna

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: Emiel Regis » 24 paź 2007, o 20:08

owca pisze:W książce "Sztuka programowania" Donalda E. Knutha autor napisał że:
Liczba rzeczywista jest wartością, która ma rozwinięcie dziesiętne
\(\displaystyle{ x=n+0.d_1d_2d_3...,}\)
gdzie n jest liczbą całkowitą, każde \(\displaystyle{ d_i}\) jest cyfrą od 0 do 9 oraz ciąg cyfr nie kończy się nieskończenie wieloma dziewiątkami.
Wychodzi więc na to, że liczba 2.(9) nie jest liczbą rzeczywistą. Czy to prawda? Jak ją zatem nazwać?
\(\displaystyle{ 2.(9)=2+0.999...\\
2.(9)=3+0.000... \\}\)

I liczba ta jak najbardziej jest rzeczywista, nie widzę tutaj nic nadzwyczajnego. Zabieg z dziewiatkami jest po to aby nie dało się jednej liczby zapisać na dwa sposoby.

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: micholak » 24 paź 2007, o 20:08

Ok w skrocie jak jakas liczba ma od pewnego momentu same 9 w rozwinieciu, to ma tez inne rozwiniecie dziesietne i tyle. Czyli przedstawienie w postaci takiego rozwiniecia jest niejednoznaczne

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: Emiel Regis » 24 paź 2007, o 20:12

Chociaz idąc tym tropem to można się faktycznie doczepić ale na pewno nie do liczb rzeczywistych a wlasnie do jednoznacznosci.
Bo przecież każda liczba o rozwinieciu dziesietnym okresowym jest wymierna... czyli dla wszystkich tych liczb byłaby niejednoznacznosc...

Awatar użytkownika
Undre
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1430
Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja:
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 92 razy

Zbiór liczb rzeczywistych

Post autor: Undre » 24 paź 2007, o 21:36

polskimisiek pisze:To raczej oznacza, że koleś miał chyba niezłe problemy z matmą
Wątpliwe, Donald E. Knuth to raczej mocny mózg i nie sądzę, żeby miał jakiekolwiek problemy z matmą będąc choćby głównym autorem "Matematyki Konkretnej".
Wspomnianego wyżej dzieła nie miałem przyjemności czytać, jednak chętnie bym zobaczył cały ten fragment o liczbach rzeczywistych.
Poza tym warto nadmienić, że uczenie się matmy z książki o sztuce programowania to jak pójście na studia polonistyczne w celu poznania historii ojczyzny.
Informatyka nastawiona jest na pojmowanie liczb z punktu widzenia maszyny - a dla maszyny nie istnieje coś takiego jak rozwinięcie nieskończone, bo każdy sprzęt ma ograniczoną pamięć. Jeżeli nie bardzo obrazowym jest to, co właśnie napisałem, to pomyśl jak komputer i spróbuj zapisać dokładnie to twoje 2.(9) na papierze ołówkiem nie stosując umownego zapisu nawiasowego. Sam symbol 2.(9) to już pewna dawka abstrakcji nieprawdaż ?

ODPOWIEDZ