Matematyka.pl

Obliczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} ae^{ax}, \ \ x<0 \\ 0, \ x \geq 0 \end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ \phi(t) = E(e^{itx} = \int_{-\infty}^{0} e^{itx}\cdot ae^{ax}dx = a \int_{-\infty}^{0} e^{itx + ax}dx}\)

Nie mam pomysłu jak policzyć tę całkę nawet korzystając z \(\displaystyle{ e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx).}\)

Swoją droga mam też pytanie czy gdy funkcja wyglądałaby w ten sposób:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 2x, \ \ 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \text{ dla pozostałych x} \end{cases}}\)

też mam podobnie liczyć funkcję charakterystyczną?

Trzeba wykorzystać wskazówkę, którą otrzymałeś na poprzednim forum.

Podstawiamy równanie Eulera \(\displaystyle{ e^{itx} = \cos(tx) + i\sin(tx) }\) do całki funkcji charakterystycznej.

Otrzymujemy sumę dwóch całek:

\(\displaystyle{ \phi(t) = \int_{-\infty}^{0} \cos(tx)e^{ax}dx + ia\int_{-\infty}^{0} \sin(tx)e^{ax} dx = \ \ ....,}\)

Całki obliczamy metodą dwukrotnego całkowania przez części.