Matematyka.pl

Dana jest funkcja optymalizująca:

\(\displaystyle{ f(x)=x^2+\left(\frac{3x}{x-2}\right)^2 \ \ , \ \ x\in \left(2,+\infty\right)}\)

Szukam jakiegoś sprytnego sposobu na wyznaczenie punktu, w którym ma ona ekstremum (sama postać sugeruje być może nierówność między średnimi, ewentualnie wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia). Licząc klasycznie otrzymujemy wielomian trzeciego stopnia o niewymiennym pierwiastku - \(\displaystyle{ x_0=2+\sqrt[3]{18}}\).

Jeśli się przesunie funkcję \(\displaystyle{ x\mapsto x+2}\) to zapisać można optymalizację funkcji \(\displaystyle{ f(\cdot+2)}\), następująco


Przy czym minimum to jest osiągane dla takiej wartości \(\displaystyle{ x}\) dla której \(\displaystyle{ \red{x^2=18/x}}\) oraz \(\displaystyle{ \blue{x=18/x^2}}\). Szczęśliwie \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{18} }\) jednocześnie spełnia te równania. Skoro \(\displaystyle{ f(\cdot+2)}\) ma minimum w \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{18}}\) to \(\displaystyle{ f(\cdot)}\) ma minimum w \(\displaystyle{ 2+ \sqrt[3]{18}}\).