Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, który nie jest wielomianem stałym, to istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczbą złożoną.

Proszę o zweryfikowanie, czy taki dowód nie wprost jest poprawny i wskazanie ewentualnych błędów w moim rozumowaniu:
Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) można wyrazić za pomocą wzoru ogólnego \(\displaystyle{ P(x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + p}\)
Załóżmy przeciwnie, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x}\) wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczbą pierwszą.
Wówczas \(\displaystyle{ P(0) = p}\) jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ P(kp)}\) (gdzie \(\displaystyle{ kp}\) jest pewną wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ p}\), a \(\displaystyle{ k \ge 1}\)) również jest liczbą pierwszą, a ponadto \(\displaystyle{ p|P(kp)}\).
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ p = P(kp)}\), czyli wielomian przyjmuje tę samą wartość nieskończoną liczbę razy, a więc jest wielomianem stałym - otrzymaliśmy sprzeczność.

Co w tym kontekście oznacza liczba złożona? Jeśli to co zawsze, tj. liczbę naturalną większą niż jeden i nie pierwszą, to teza jest nieprawdziwa, a kontrprzykładem jest wielomian \(\displaystyle{ P(x) = -x^2 - 1}\). Błąd zaś w Twoim rozwiązaniu jest w założeniu nie wprost, które zakłada niejawnie, że wszystkie możliwe wartości wielomianu \(\displaystyle{ P}\) dzielą się na liczby pierwsze i liczby złożone.

Tak, chodzi o tę definicję liczby złożonej. Faktycznie, ta teza jest wtedy nieprawdziwa... Sprawdziłem jeszcze raz treść zadania i jest dokładnie taka, jak napisałem. Gdyby jednak współczynniki nie mogły być ujemne, wtedy taka teza byłaby prawdziwa. Rozumiem, że w moim dowodzie nie uwzględniłem przypadku, gdy \(\displaystyle{ P(0)}\) nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, czyli np. \(\displaystyle{ P(0) = 1}\). Jak wówczas mógłbym podejść do takiego dowodu?

Wystarczy założyć, że współczynnik wiodący wielomianu jest dodatni, wtedy Twój dowód jest poprawny po odpowiedniej modyfikacji. Dla dostatecznie dużych naturalnych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ P(x) > 1}\). Weźmy jedno takie \(\displaystyle{ x}\) i niech \(\displaystyle{ p = P(x)}\). Jeśli jest to liczba złożona, to koniec. W przeciwnym razie jest to liczba pierwsza. Znów dla dostatecznie dużych naturalnych \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ P(x+kp) > p}\), a jednocześnie \(\displaystyle{ p \mid P(x+kp) - P(x)}\), czyli \(\displaystyle{ p \mid P(x+kp)}\). Zatem \(\displaystyle{ P(x+kp)}\) jest liczbą złożoną.

Podobne rozumowanie zadziała przy założeniu, że wielomian jest nieparzystego stopnia. Jedynym problematycznym przypadkiem są więc wielomiany parzystego stopnia o ujemnym współczynniku wiodącym, czyli takie które przyjmują tylko skończenie wiele dodatnich wartości (dla argumentów naturalnych).

Czy to, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) naturalnych \(\displaystyle{ P(x)\gt1}\) wynika z faktu, że dla \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty}\) \(\displaystyle{ P(x) \rightarrow \infty}\), gdy nie jest to wielomian stały? Dlaczego musimy analizować \(\displaystyle{ P(x + kp)}\), nie wystarczyłoby tylko \(\displaystyle{ P(kp)}\)?

qwerty355 pisze: 7 maja 2024, o 13:26Czy to, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) naturalnych \(\displaystyle{ P(x)\gt1}\) wynika z faktu, że dla \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty}\) \(\displaystyle{ P(x) \rightarrow \infty}\), gdy nie jest to wielomian stały?

Tak, i gdy ma dodatni współczynnik wiodący.

qwerty355 pisze: 7 maja 2024, o 13:26Dlaczego musimy analizować \(\displaystyle{ P(x + kp)}\), nie wystarczyłoby tylko \(\displaystyle{ P(kp)}\)?

Dlatego że na ogół \(\displaystyle{ y - x \mid P(y) - P(x)}\) gdy \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ P}\) ma współczynniki całkowite. Stąd \(\displaystyle{ kp \mid P(x+kp) - P(x)}\), ale niczego użytecznego o \(\displaystyle{ P(kp) - P(x)}\) powiedzieć nie można. Z kolei \(\displaystyle{ kp \mid P(kp) - P(0)}\), ale to też nic nie daje, bo nie wiemy nic o \(\displaystyle{ P(0)}\).

Chyba nie do końca rozumiem, z czego wynika to, że \(\displaystyle{ y - x | P(y) - P(x)}\), a co za tym idzie tego przejścia: \(\displaystyle{ kp | P(x + kp) - P(x)}\), czyli \(\displaystyle{ p | P(x + kp)}\). Czy mógłbyś mi to wyjaśnić?

qwerty355 pisze: 7 maja 2024, o 21:20 Chyba nie do końca rozumiem, z czego wynika to, że \(\displaystyle{ y - x | P(y) - P(x)}\)

Hint: \(\displaystyle{ y-x|y^n-x^n}\).

Okej, chyba zrozumiałem - chodzi o to, że obliczając różnicę wielomianów \(\displaystyle{ P(y) - P(x)}\) możemy ostatecznie przy każdym wyrazie postaci \(\displaystyle{ a_n\cdot y^n - a_n\cdot x^n}\) "wyłączyć przed nawias" \(\displaystyle{ y-x}\), natomiast wyrazy wolne się zredukują, tak?
Czy takie coś jest prawdziwe dla wszystkich wielomianów/wynika wprost z jakiejś własności lub twierdzenia?

Idąc dalej, skoro \(\displaystyle{ kp|P(x + kp) - P(x)}\), to skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ p|P(x + kp)}\)?