Matematyka.pl

Tradycyjna pochodna funkcji jednej zmiennej, to po prostu tangens kąta nachylenia stycznej do krzywej \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\).

A moje pytanie dotyczy analogicznej pochodnej ale w wersji 2D:
\(\displaystyle{ z = f(x,y)}\)

i jaki mamy tu ten tangens kąta do powierzchni?

i od razu powiem że gradient nie działa, bo to jest wektor normalny do powierzchni, a nie styczny.

\(\displaystyle{ grad(z=f(x,y) )= [dz/dx, dz/dy, dz/dz=1]}\)

W przypadku funkcji jednej zmiennej pochodną reprezentuje styczna do wykresu, czyli prostą, która najlepiej przybliża krzywą lokalnie.
Z funkcją dwóch zmiennych jest tak samo. Pochodna reprezentuje płaszczyznę, która najlepiej przybliża powierzchnię opisywaną przez funkcję - płaszczyznę styczną do powierzchni.

To ja wiem.
Chodzi mi o to, że w standardowych definicjach nie ma nawet takiego pojęcia - nachylenie powierzchni.

podejrzewam że to byłoby z Pitagorasa:

\(\displaystyle{ tan2Surface = tg(f_g) = \sqrt{z_x^2 + z_y^2}}\)

co należy sprawdzić, bo być może nie koniecznie.

i weźmy sferę, czyli: \(\displaystyle{ z = \sqrt{1-x^2-y^2}}\)

i tu otrzymamy: \(\displaystyle{ tg(f_ g) = \sqrt{1/z^2-1}}\)

co np. dla z = 0 daje inf, czyli ok - styczna jest tam pionowa;
a na biegunach: z = 1, mamy 0, chyba ok.

No to jak to wiesz, to powinieneś rozumieć, że jednym parametrem się tego nie opisze

oczywiście że jednym parametrem:
w końcu tangens nachylenia to zwyczajna liczba.

tu jest chyba coś w temacie:
https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_gradient
ale nie wiem czy to jest poprawnie tam podane,
ponieważ to o czym ja mówię zależy od kierunku pionu, co jest arbitralne, a tam jest jakoś niewidoczne - znaczy gdzie jest mój kierunek z = pion w tym wzorze?

sam gradient jest zależny od układu wsp., zatem to o czym mówię jest pewnie w gradiencie:

grad(f) = normalna do powierzchni (w zadanym układzie),
a mi chodzi o styczną, czyli to jest tylko o 90 stopni obrócone... tg(tangent) = ctg(normal) = 1/tg(normal); the end.

Dodano po 32 minutach 1 sekundzie:
finalnie pozostaje sprawdzić - algebraicznie czy ten wzorek z wiki jest zgodny z moim zgadniętym:

jeśli ten surface_grad = [x,y,z],

wówczas tg tego wynosi.. może ten latex użyjemy, choć troszkę toporny jest jak na moje potrzeby:
\(\displaystyle{ tg(f_s) = \frac{r}{z}, \ gdzie: r^2 = x^2+y^2}\)

i w przypadku: f = z(x,y), mamy grad f = [f_x,f_y, 1], czyli.. cbdu.