Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sqrt {1 + \frac {20}x } = \sqrt {1 + 24x} + 2}\)

najpierw wyznacz dziedzinę

\(\displaystyle{
\left( \sqrt {1 + \frac {20}{x} } \right)^2 =\left( \sqrt {1 + 24x} + 2 \right)^2\\
1 + \frac {20}{x} = 1 + 24x + 4\sqrt {1 + 24x} + 4\\
\frac{20}{x} - 24x - 4 = 4\sqrt{1+24x}\\
\frac{5}{x} - 6x - 1 = \sqrt{1+24x}\\
\left(\frac{5}{x} - 6x - 1\right)^2 = \left( \sqrt{1+24x}\right)^2\\
}\)

jak to rozwiążesz musisz koniecznie porównać z dziedziną bo takie podnoszenie obustronnie do kwadratu praktycznie zawsze generuje dodatkowe błędne rozwiązania

Ja bym zaczął od zmiennej pomocniczej \(\sqrt{1+{20\over x}}=t>0\) i dla \(t\ge2\) rozwiązał równanie
\[(t-2)^2=1+{480\over t^2-1}\\\ldots\\ t=1+2\sqrt6\]
Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \sqrt {1 + \frac {20}{x}} = \sqrt {1 + 24 x} + 2 \\
\Rightarrow 12 x + \frac {10}{x} = \sqrt {\frac {(1 + 24 x)(20 + x)}{x}} + 1 \\
\Rightarrow 6 x + \frac {5}{x} = 12}\)
Otrzymujemy dwa rozwiązania do sprawdzenia:
\(\displaystyle{ x_{1} = 1 - \frac {1}{\sqrt{6}}}\)
oraz rozwiązanie nadmiarowe
\(\displaystyle{ x_{2} = 1 + \frac {1}{\sqrt{6}}}\)