Strona 1 z 1
różne równania diofantyczne
: 25 kwie 2024, o 23:04
autor: bazyl01
Proszę o wskazówki do zadań, a ja będę dalej próbował:
\(\displaystyle{ (a)\,\,2^x(2x+1)=y^2}\)
\(\displaystyle{ (b)\,\,(5a-1)3^b=5^a(3b+1)}\) tutaj zauważyłem, że \(\displaystyle{ (5^a,5a-1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (3^b,3b+1)=1}\) ale nie wiem co dalej.
\(\displaystyle{ (c)\,\,x^3-4x=(2y+1)^2}\)
Dodam jeszcze tylko, że zadanie te są w dziale "Zastosowanie jednoznaczności rozkładu w rozwiązywaniu równań."
Re: różne równania diofantyczne
: 26 kwie 2024, o 00:02
autor: Jan Kraszewski
Rozumiem, że chodzi o rozwiązanie w liczbach naturalnych.
bazyl01 pisze: ↑25 kwie 2024, o 23:04\(\displaystyle{ (a)\,\,2^x(2x+1)=y^2}\)
W rozkładzie liczby
\(\displaystyle{ y^2}\) wszystkie potęgi są parzyste. Jaki ma to wpływ na rozkład liczby
\(\displaystyle{ 2^x(2x+1)}\) ?
bazyl01 pisze: ↑25 kwie 2024, o 23:04\(\displaystyle{ (b)\,\,(5a-1)3^b=5^a(3b+1)}\) tutaj zauważyłem, że
\(\displaystyle{ (5^a,5a-1)=1}\) oraz
\(\displaystyle{ (3^b,3b+1)=1}\) ale nie wiem co dalej.
No to w zasadzie koniec. Ile liczb
\(\displaystyle{ 5}\) jest w rozkładzie liczby
\(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) ? Co nam to mówi o
\(\displaystyle{ a}\) ? I to samo z trójką.
JK
Re: różne równania diofantyczne
: 26 kwie 2024, o 00:54
autor: bazyl01
W tym (a) nie wiem jak pociągnąć z tą wskazówką, wybacz.
W (b) w rozkładzie
\(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) nie występują 5-tki i występują 3-ki, a w rozkładzie
\(\displaystyle{ 5^a(3b+1)}\) występują piątki, ale nie występują 3-ki, zatem równość nie może zachodzić, czy tak? Dziękuję i pozdrawiam!
Re: różne równania diofantyczne
: 26 kwie 2024, o 02:29
autor: Jan Kraszewski
bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 00:54
W tym (a) nie wiem jak pociągnąć z tą wskazówką, wybacz.
W rozkładzie liczby
\(\displaystyle{ 2^x(2x+1)}\) jest dokładnie
\(\displaystyle{ x}\) dwójek, więc
\(\displaystyle{ x}\) musi być parzyste. Ponadto
\(\displaystyle{ 2x+1}\) musi być kwadratem liczby nieparzystej. Zatem
\(\displaystyle{ 2x+1=(2k+1)^2}\) dla pewnego
\(\displaystyle{ k\in\NN}\). W ten sposób możesz wyznaczyć pary liczb
\(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniające te równanie - liczby te będą zależne od
\(\displaystyle{ k}\), więc będzie nieskończenie wiele rozwiązań.
JK
Re: różne równania diofantyczne
: 26 kwie 2024, o 11:12
autor: bazyl01
równania te rozwiązujemy w zbiorze liczb całkowitych, przepraszam zapomniałem dodać.
skoro \(\displaystyle{ x}\) ma być parzyste, to \(\displaystyle{ x=2l,\,\,l\in\mathbb{N_0}}\), gdyż dla \(\displaystyle{ l\in\mathbb{Z_-}}\) mamy, że \(\displaystyle{ 2^l\notin\mathbb{Z}.}\)
skoro \(\displaystyle{ 2x+1}\) ma być kwadratem liczby nieparzystej, to \(\displaystyle{ 2x+1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1\,\,\Leftrightarrow\,\,x=2k(k+1),\,\,k\in\mathbb{Z}.}\)
czy tak? dziękuję za odpowiedź.
Re: różne równania diofantyczne
: 26 kwie 2024, o 12:01
autor: Jan Kraszewski
bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 11:12skoro
\(\displaystyle{ x}\) ma być parzyste, to
\(\displaystyle{ x=2l,\,\,l\in\mathbb{N_0}}\), gdyż dla
\(\displaystyle{ l\in\mathbb{Z_-}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ 2^l\notin\mathbb{Z}.}\)
To trochę za mało - cóż z tego, że
\(\displaystyle{ 2^l\notin\mathbb{Z}}\) ?
Jeśli
\(\displaystyle{ l<0}\), to
\(\displaystyle{ 2^{x}(2x+1)<0<y^2.}\)
bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 11:12skoro
\(\displaystyle{ 2x+1}\) ma być kwadratem liczby nieparzystej, to
\(\displaystyle{ 2x+1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1\,\,\Leftrightarrow\,\,x=2k(k+1),\,\,k\in\mathbb{Z}.}\)
Dobrze, ale jeszcze musisz wyznaczyć
\(\displaystyle{ y}\).
bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 00:54W (b) w rozkładzie
\(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) nie występują 5-tki i występują 3-ki, a w rozkładzie
\(\displaystyle{ 5^a(3b+1)}\) występują piątki, ale nie występują 3-ki, zatem równość nie może zachodzić, czy tak? Dziękuję i pozdrawiam!
Po pierwsze, to za mało: w rozkładzie
\(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) wcale nie muszą występować trójki (a w rozkładzie
\(\displaystyle{ 5^a(3b+1)}\) wcale nie muszą występować piątki), ale istotnie nie będzie rozwiązań.
Po drugie, powyższe działa tylko dla liczb naturalnych. Łatwo odrzucić przypadek jednej liczby nieujemnej, a drugiej ujemnej. Przypadek ujemnych
\(\displaystyle{ a,b}\) trzeba rozważyć osobno.
JK