Matematyka.pl

Witam mam do rozwiązania dwa zadania
1. \(\displaystyle{ x_{n+1} = 10x _{n} -21x _{n-1} }\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x _{2} = 1}\)
rozwiązuje po przez użycie równania charakterystycznego z czego wychodzi mi \(\displaystyle{ x_{n} = A(3) ^{n} + B(7) ^{n} }\)
\(\displaystyle{ (x_{n} = x_{n} + x_{n} ^{*}) }\)
Następnie przewiduje rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ x_{n} ^{*} = C\cdot n\cdot 3 ^{n} }\)
Podstawiam \(\displaystyle{ x_{n} ^{*} = C\cdot n\cdot 3 ^{n} }\) do \(\displaystyle{ x_{n+1} = 10x _{n} -21x _{n-1} }\) z czego otrzymuje \(\displaystyle{ C = - \frac{1}{4} }\)

tworze teraz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 = 3A + 7B - \frac{1}{4}\cdot 1\cdot 3 \\ 1= 9A + 49B - \frac{1}{4}\cdot 2\cdot 9 \end{cases} }\)

Wynik jaki powinienem otrzymać jest to \(\displaystyle{ x_{n} = \frac{1}{112}\cdot 7 ^{n} - \frac{7}{112}\cdot 3 ^{n}\cdot (4n-9) }\)

2. \(\displaystyle{ x_{n+1} = 2x _{n} -2x _{n-1} +1 }\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x _{2} = 1}\), tutaj jednak nie wiem jak się za to zabrać

chyba \(\displaystyle{ y_{n+2}= 2y_{n+1}- 2y_n}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}=1+ \sum_{k=0}^{n} y_k}\)...

Tworzyk pisze: ↑18 kwie 2024, o 11:23 \(\displaystyle{ (x_{n} = x_{n} + x_{n} ^{*}) }\)
Następnie przewiduje rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ x_{n} ^{*} = C\cdot n\cdot 3 ^{n} }\)

Nie wiem skąd jest ten fragment i wszystko później. Przecież zgodnie z procedurą należy podstawić warunki początkowe do wzoru \(\displaystyle{ x_n = A \cdot 3^n + B \cdot 7^n}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) ?

Tworzyk pisze: ↑18 kwie 2024, o 11:23 Witam mam do rozwiązania dwa zadania
1. \(\displaystyle{ x_{n+1} = 10x _{n} -21x _{n-1} +3 ^{n} }\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1} = 1, x _{2} = 1}\)

Sorki, przepisując zgubiłem \(\displaystyle{ 3 ^{n}}\)
Teraz to ma więcej sensu