Matematyka.pl

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\). Jak wyznaczyć odcinek \(\displaystyle{ QR}\) , punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest na boku \(\displaystyle{ AC}\), zaś \(\displaystyle{ R}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\) , równoległy do \(\displaystyle{ AB}\) i kąt \(\displaystyle{ QPR }\) jest prosty

Trzeba wyznaczyć środkową \(\displaystyle{ CD}\) (\(\displaystyle{ D}\) na środku boku \(\displaystyle{ AB}\)) i \(\displaystyle{ QR}\) musi przecinać ją w takim punkcie \(\displaystyle{ S}\), że \(\displaystyle{ |QS| = |SR| = |PR|,}\) wówczas \(\displaystyle{ QR}\) jest średnicą okręgu, który przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\) (bądź jest w nim styczny do \(\displaystyle{ AB}\)) i kąt \(\displaystyle{ QPR}\) jest oparty na tej średnicy więc z definicji jest prosty.

Dodano po 11 godzinach 38 minutach 37 sekundach:
wkradła się pomyłka a nie mogę już edytować
\(\displaystyle{
|QS| = |SR| = |PS|
}\)
oczywiście tak powinno być

@Gouranga
Niby racja, tyle, że to nie jest rozwiazanie, tylko sposób na znalezienie rozwiązania.

Skoro \(\displaystyle{ QR||AB}\), to na mocy twierdzenia Talesa, istnieje takie `t\in(0,1)`, że \(\displaystyle{ Q=A+t\vec{AC}}\) i \(\displaystyle{ R=B+t\vec{BC}}\).
Szukamy takiego `t`, żeby wektory \(\displaystyle{ \vec{PQ}}\) i \(\displaystyle{ \vec{PR}}\) były prostopadłe, co daje równanie
\(\displaystyle{ h(t)=(\vec{PA}+t\vec{AC})\circ(\vec{PB}+t\vec{BC})=\vec{AC}\circ\vec{BC} t^2+(\vec{AC}\circ\vec{PB}+\vec{BC}\circ\vec{PA})t+\vec{PA}\circ\vec{PB}=0}\)
To równanie ma jedno rozwiazane w interesujacym nas przedziale, bo \(\displaystyle{ h(0)=\vec{PA}\circ\vec{PB}<0}\) a \(\displaystyle{ h(1)=|\vec{CP}|^2>0}\) i znajdujemy je standardowo.