Matematyka.pl

Rozważmy spiralę Archimidesa we współrzędnych biegunowych \(\displaystyle{ \left( r, \alpha \right) }\), gdzie \(\displaystyle{ r \ge 0}\), \(\displaystyle{ \alpha >0}\):
\(\displaystyle{ S:= \left\{ \left( r, \alpha \right): \ r= \alpha\right\} .}\)
Interesuje mnie długość takiej spirali, tzn. dla danego kąta \(\displaystyle{ \beta >0}\) chcę wyznaczyć długość tej spirali, gdzie druga współrzędna spirali spełnia zakres: \(\displaystyle{ 0< \alpha \le \beta;}\) tzn. chcę wyznaczyć długość takiej spirali \(\displaystyle{ S,}\) gdzie kąt zmienia się w zakresie od \(\displaystyle{ 0}\) do danej wartości \(\displaystyle{ \beta.}\) Tak naprawdę, będę w pełni szczęśliwy, jeśli uda mi się tylko wyznaczyć długości spirali dla wszystkich kątów \(\displaystyle{ \beta }\) postaci: \(\displaystyle{ \beta= 180 ^{\circ} \cdot n,}\) gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN _{+}.}\) Jak to zrobić

Odnośnie wzory były na analizie na pierwszym roku

A ponieważ chyba mało kto pamięta wzory na długość krzywej we współrzędnych biegunowych, sugerowałbym przetłumaczyć na współrzędne kartezjańskie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(t) = r(t) \cos \alpha(t) = \ldots \\ y(t) = r(t) \sin \alpha(t) = \ldots \end{cases}}\)

i użyć wzoru na długość krzywej w takichże współrzędnych.

You can see where that final answer comes from in Wolfram|Alpha. It may be possible to find the actual integral on paper (it involves hyperbolic functions), but why waste our lives doing so? We are interested in the length, not pages of algebra!

https://www.intmath.com/blog/mathematics/length-of-an-archimedean-spiral-6595

Prawdziwe rozwiązanie w https://downloads.imagej.net/fiji/snapshots/arc_length.pdf