Wykazać następującą nierówność z ułamkami
: 16 kwie 2024, o 07:44
Wykazać, że dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ a}\) oraz dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ b}\) prawdziwa jest nierowność
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b^{2}}{a^{2}} \right)+14 \ge 12\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right) }\).
Dodano po 13 minutach 27 sekundach:
Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 }\),
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ 4\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +9+\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ \left( 2 \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) -3\right)^{2}+\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0 }\).
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b^{2}}{a^{2}} \right)+14 \ge 12\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right) }\).
Dodano po 13 minutach 27 sekundach:
Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 }\),
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ 4\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +9+\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ \left( 2 \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) -3\right)^{2}+\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0 }\).