Strona 1 z 1
Kwadrat z f
: 11 kwie 2024, o 20:35
autor: mol_ksiazkowy
Czy jeśli
\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych
\(\displaystyle{ \NN}\) i o wartościach w tym zbiorze i
\(\displaystyle{ n+f(m)}\) dzieli
\(\displaystyle{ f(n)+ nf(m)}\) dla dowolnych
\(\displaystyle{ n, m}\) to
\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) dla
\(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
Re: Kwadrat z f
: 13 kwie 2024, o 12:39
autor: arek1357
Jeżeli zapiszemy warunek zadania w ten sposób to otrzymamy:
(*) \(\displaystyle{ f(n)+nf(m)=kn+kf(m)}\)
przyjmijmy:
\(\displaystyle{ n=m}\)
otrzymamy:
(**) \(\displaystyle{ f(n)+nf(n)=kn+kf(n)}\)
lub:
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)
Jak widać podzielność ta zachodzi dla:
\(\displaystyle{ k=1}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f(n)=1}\)
funkcja spełnia równanie wyjściowe,(*)
może być też:
\(\displaystyle{ k=n}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) - funkcja spełnia (*)
ale może być też:
\(\displaystyle{ k=n-1}\)
więc:
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{n(n-1)}{2} }\)
co ciekawe funkcja ta nie spełnia (*) ale spełnia (**)
I wchodzi w zero...
Re: Kwadrat z f
: 14 kwie 2024, o 13:22
autor: mol_ksiazkowy
\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)
Dla danego
\(\displaystyle{ n}\) liczba
\(\displaystyle{ k}\) jest wyznaczona niejednoznacznie, np.
\(\displaystyle{ n=9}\);
\(\displaystyle{ k \in \{ 1, 4, 5, 7 , 8, 9 \}}\)...itd.