Matematyka.pl

Czy jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) i o wartościach w tym zbiorze i \(\displaystyle{ n+f(m)}\) dzieli \(\displaystyle{ f(n)+ nf(m)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ n, m}\) to\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)

Jeżeli zapiszemy warunek zadania w ten sposób to otrzymamy:

(*) \(\displaystyle{ f(n)+nf(m)=kn+kf(m)}\)

przyjmijmy:

\(\displaystyle{ n=m}\)

otrzymamy:

(**) \(\displaystyle{ f(n)+nf(n)=kn+kf(n)}\)

lub:

\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)

Jak widać podzielność ta zachodzi dla:

\(\displaystyle{ k=1}\)

wtedy:

\(\displaystyle{ f(n)=1}\)

funkcja spełnia równanie wyjściowe,(*)

może być też:

\(\displaystyle{ k=n}\)

wtedy:

\(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) - funkcja spełnia (*)

ale może być też:

\(\displaystyle{ k=n-1}\)

więc:

\(\displaystyle{ f(n)= \frac{n(n-1)}{2} }\)

co ciekawe funkcja ta nie spełnia (*) ale spełnia (**)

I wchodzi w zero...

\(\displaystyle{ f(n)= \frac{kn}{n+1-k} }\)

Dla danego \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ k}\) jest wyznaczona niejednoznacznie, np. \(\displaystyle{ n=9}\); \(\displaystyle{ k \in \{ 1, 4, 5, 7 , 8, 9 \}}\)...itd.