Co dają nam zbiory nieskończone??
: 10 kwie 2024, o 21:32
W książce Ian-a Stewart-a 'Oswajanie nieskończoności. Historia matamatyki' są różne ramki z tytułami 'Co daje nam logika?', 'Co daje nam geometria wyższych wymiarów?', 'Co daje nam topologia?'... A ja zadam teraz pytanie: Co dają nam zbiory nieskończone
Nie chodzi mi tu o samą ideę nieskończoności (bo to jest w matematyce normalne), ale Georg Cantor przyjął, że nie kończące się liczby naturalne można zamknąć w jeden zbiór... Hm, ciekawe... I nie chodzi mi tutaj o to czy jest to opisane w sposób ścisły (bo zapewne jest- teoria mnogości na ważniaku o tym świadczy), lecz chodzi mi raczej tutaj o to, czy te zbiory nieskończone dają nam jakieś praktyczne korzyści?? Albo inaczej, czy nie przyjmując aksjomatu nieskończoności, czy coś tracę?? (W mojej książce 'Przystępny wstęp do matematyki' nie poruszam (i robiłem to celowo, aby pokazać, że na poziomie ogólnych definicji też można sporo zdziałać, a napisałem już 220 stron) tematu zbiorów nieskończonych, traktując je tak, jakby ich w matematyce nie było (no może coś tam ostatnio wspomniałem o ciągach nieskończonych...), a przed poruszeniem tematu zbiorów nieskończonych napiszę jeszcze trochę o zbiorze liczb rzeczywistych). Nie wiem... może bez nieskończonego zbioru liczb naturalnych nie można byłoby mówić o granicy ciągu (a to może być przydatne pojęcie, bo mamy dzięki temu krzywą Peano wypełniającą kwadrat, albo mamy fraktale, nie wiem...). Zna ktoś jakieś wymowne przykłady
(Poza przykładem mówiącym, że nieskończoność zbioru pozwala aby Achilles dogonił żółwia, tzn. nieskończoność zbioru pozwala wyjaśnić ten paradoks, ale zbiory nieskończone nie są tu koniecznym wyjściem z tej sytuacji, bo można od razu wziąć dwukrotność takiego pierwszego odcinka, i można łatwo wyliczyć, że wtedy Achilles dogoni tego żółwia). Czy ktoś zna inny przykład
Nie chodzi mi tu o samą ideę nieskończoności (bo to jest w matematyce normalne), ale Georg Cantor przyjął, że nie kończące się liczby naturalne można zamknąć w jeden zbiór... Hm, ciekawe... I nie chodzi mi tutaj o to czy jest to opisane w sposób ścisły (bo zapewne jest- teoria mnogości na ważniaku o tym świadczy), lecz chodzi mi raczej tutaj o to, czy te zbiory nieskończone dają nam jakieś praktyczne korzyści?? Albo inaczej, czy nie przyjmując aksjomatu nieskończoności, czy coś tracę?? (W mojej książce 'Przystępny wstęp do matematyki' nie poruszam (i robiłem to celowo, aby pokazać, że na poziomie ogólnych definicji też można sporo zdziałać, a napisałem już 220 stron) tematu zbiorów nieskończonych, traktując je tak, jakby ich w matematyce nie było (no może coś tam ostatnio wspomniałem o ciągach nieskończonych...), a przed poruszeniem tematu zbiorów nieskończonych napiszę jeszcze trochę o zbiorze liczb rzeczywistych). Nie wiem... może bez nieskończonego zbioru liczb naturalnych nie można byłoby mówić o granicy ciągu (a to może być przydatne pojęcie, bo mamy dzięki temu krzywą Peano wypełniającą kwadrat, albo mamy fraktale, nie wiem...). Zna ktoś jakieś wymowne przykłady
(Poza przykładem mówiącym, że nieskończoność zbioru pozwala aby Achilles dogonił żółwia, tzn. nieskończoność zbioru pozwala wyjaśnić ten paradoks, ale zbiory nieskończone nie są tu koniecznym wyjściem z tej sytuacji, bo można od razu wziąć dwukrotność takiego pierwszego odcinka, i można łatwo wyliczyć, że wtedy Achilles dogoni tego żółwia). Czy ktoś zna inny przykład