Matematyka.pl

Udowodnić, ze \(\displaystyle{ n!+ 1 }\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n+2}\) .

Nie mam rozwiązania, ale dołożę coś od siebie: czy istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ n}\), że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n! + 1 }\) przez \(\displaystyle{ n+2}\) była różna od \(\displaystyle{ 3, 2, 1}\)? Takie reszty są osiągalne na przykład przez \(\displaystyle{ n = 2, 3, 4}\).

załóżmy, że jednak się dzieli, wówczas
\(\displaystyle{
n! + 1 = k(n +2)\\
n! = kn + 2k -1
}\)
lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) więc prawa też musi, a to znaczy, że \(\displaystyle{ 2k-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\) a skoro \(\displaystyle{ 2k-1}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ n}\) też musi być nieparzyste i dalej z \(\displaystyle{ n! = kn + 2k -1}\) wynika że \(\displaystyle{ k}\) też musi być nieparzyste (bo silnia będzie parzysta) i \(\displaystyle{ 2k = 1 \mod n}\)

Kolejny trop: niech \(\displaystyle{ n+2}\) będzie liczbą pierwszą. Wtedy reszta z dzielenia, o której wspominałam, wynosi 1.

Niech \(\displaystyle{ n+2}\) będzie liczbą złożoną, wówczas można zapisać \(\displaystyle{ n+2 = d_1d_2.}\) Obydwa dzielniki \(\displaystyle{ d_1, d_2}\) (mogą być sobie równe) są mniejsze niż \(\displaystyle{ n}\) (dla \(\displaystyle{ n>2}\)), zatem \(\displaystyle{ n+2=d_1d_2}\) dzieli \(\displaystyle{ n!}\), a więc jest niepodzielne przez \(\displaystyle{ n!+1}\) (reszta \(\displaystyle{ 1}\)).
Niech teraz liczba \(\displaystyle{ n+2}\) będzie liczbą pierwszą, to możemy skorzystać z twierdzenia Wilsona, że \(\displaystyle{ (n+1)!+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n+2}\). Zatem istnieje naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie, że \(\displaystyle{ (n+1)!+1-(n!+1) = k(n+2)}\)

\(\displaystyle{ (n+1)!+1-(n!+1) = n!(n+1-1) = n!n,}\) \(\displaystyle{ n+2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n}\), ani \(\displaystyle{ n!}\) (bo jest pierwsze), co kończy dowód.