Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\frac{\left( -1\right)^{k} }{2^{2k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k}}}\)

Moja hipoteza jest następująca

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\frac{\left( -1\right)^{k} }{2^{2k}} \cdot \frac{n}{n-k} \cdot {n-k \choose k}} = \frac{1}{2^{n-1}} \qquad n > 0 \wedge n \in \mathbb{Z}}\)

Dla "biznesmenów Traczów"
Wykazać moją hipotezę bez korzystania z wielomianów Czebyszowa
Otrzymałem tę sumę w takim kontekście że skorzystanie z wielomianów Czebyszowa doprowadzi do błędnego koła w rozumowaniu
(ang circular reasoning)

A indukcyjnie próbowałeś?

Jesteś pewien, że nie chcesz użyć nic z https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials#Explicit_expressions Jak dobrze do tego podejdziesz, unikniesz błędnego koła.

Chciałem wyznaczyć postać ogólną wielomianów Czebyszowa wyprowadzając i rozwiązując równanie różniczkowe
Tej sumy potrzebuję aby wyznaczyć współczynnik wiodący

Indukcja ?
Może by wystarczyła ale jak ona by tutaj wyglądała

Wg mnie aby skorzystanie z wielomianów Czebyszowa doprowadzi do błędnego koła
ale jak ty twierdzisz że nie to mógłbyś to przedstawić

Dodano po 1 godzinie 47 minutach 3 sekundach:
Na początku zastanawiałem się jak by tu użyć zaburzania czy sumowania przez części
Nie bardzo wiem jakich innych metod można by użyć