Matematyka.pl

Witam,
mam problem z wyznaczeniem dziedziny i miejsca zerowego następujących funkcji:

1) \(\displaystyle{ \tg( \frac{ \pi }{6}- \frac{x }{2} ) }\)
2) \(\displaystyle{ \ctg( \frac{x}{3}- \frac{ \pi }{9}) }\)

1) Przekształcam najpierw: \(\displaystyle{ \tg[-( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6})]=-\tg( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6}) }\)

Dla funkcji \(\displaystyle{ -\tg( \frac{x}{2}) }\) Dziedziną jest: \(\displaystyle{ \RR \setminus \{ \pi +2k \pi ,k \in \ZZ\}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=0 \Leftrightarrow x=2k \pi }\)
Funkcję przesuwam o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} }\) w prawo, więc dziedzina to będzie:
\(\displaystyle{ \RR \setminus\{ \frac{7 \pi }{6}+2k \pi , k \in \RR\} }\), a \(\displaystyle{ f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{ \pi }{6}+2k \pi , k \in \ZZ }\) i tu jest inna odpowiedź w książce.

2)Dla wykresu \(\displaystyle{ \ctg \frac{x}{3} }\) dziedziną jest: \(\displaystyle{ \RR \setminus\{3k \pi ,k \in \ZZ\}}\), a \(\displaystyle{ f(x)=0 \Leftrightarrow x= \frac{3 \pi }{2}+3k \pi , k \in \ZZ }\)
Funkcję przesuwam o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{9} }\) w prawo, dlatego zarówno miejsce zerowe, jak i dziedzina będzie o tyle przesunięta:
Dziedzina: \(\displaystyle{ \RR \setminus\{ \frac{ \pi }{9}+3k \pi\} }\), a miejsce zerowe \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}+ \frac{ \pi }{9}= \frac{29 \pi }{18} +3k \pi }\) i tutaj również jest inna odpowiedź niż w książce...

Może dlatego, że `{7\pi}/6={\pi}/6+\pi`?

Kombinujesz jak dziki koń pod górkę...

\(\displaystyle{ \tg\left( \frac{ \pi }{6}- \frac{x }{2}\right) }\)

Dziedzina: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}- \frac{x }{2}\ne\frac{ \pi }{2}+k\pi,}\) więc \(\displaystyle{ \frac{x }{2}\ne\frac{ \pi }{6}-\frac{ \pi }{2}-k\pi=-\frac{ \pi }{3}-k\pi}\), więc \(\displaystyle{ x \ne-\frac{ 2\pi }{3}-2k\pi}\), co wobec dowolności \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\) oznacza to samo, co \(\displaystyle{ x \ne\frac{ 4\pi }{3}+2k\pi.}\)

Reszta podobnie.

A błąd popełniłeś tutaj:

Damieux pisze: ↑29 mar 2024, o 16:06 Funkcję przesuwam o \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} }\) w prawo,

Zastanów się dlaczego...

JK

A samo przekształcenie jest prawidłowe? wykres 1?

No właśnie nie.

Jeżeli weźmiesz funkcję \(\displaystyle{ f(\red{x})=-\tg\left( \frac{\red{x}}{2}\right) }\) i przesuniesz ją o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) w prawo, to dostaniesz funkcję \(\displaystyle{ f\left( \red{x-\frac{\pi}{6}}\right) =-\tg\left(\frac{\red{x-\frac{\pi}{6}}}{2}\right)= -\tg\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{12}\right)}\). Żeby dostać funkcję, którą potrzebujesz, powinieneś przesunąć o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) w prawo.

JK