Prosty dowód podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
: 27 mar 2024, o 00:45
Zrozumiałem dzisiaj (z pomocą wczorajszą Dasia11), ten prosty dowód tego podstawowego twierdzenia rachunku całkowego. Przedstawię teraz ten dowód (a może będzie to raczej bardziej uzasadnienie tego faktu niż jego ścisły dowód, gdyż uzasadnię ten fakt przy pomocy interpretacji całki jako pola pod wykresem funkcji) tego faktu.
Niech \(\displaystyle{ y=f\left( u\right)}\), będzie funkcją ciągłą \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR _{+} .}\)
Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na każdym przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\).
Wykażemy, że wtedy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f\left( u\right)du = G\left( b\right)- G\left( a\right),}\)
dla dowolnej ustalonej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ G}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Dla każdego \(\displaystyle{ x \ge a}\), niech:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int\limits_{a}^{x} f\left( u\right) d\left( u\right).}\)\(\displaystyle{ }\)
Wykażemy najpierw, że:
\(\displaystyle{ F ^{'}\left( x\right) =f\left( x\right), \hbox{ dla każdego } x>a.}\)
Niech \(\displaystyle{ x>a}\), i niech \(\displaystyle{ x_1>x.}\)
Wiemy, że wartość funkcji \(\displaystyle{ F\left( x_1\right)}\), zdefiniowana jako całka, oznacza pole pomiędzy wykresem funkcji \(\displaystyle{ y= f\left( u\right)}\), a osią \(\displaystyle{ x}\), od punktu \(\displaystyle{ u=a}\) do punktu \(\displaystyle{ u=x_1}\). Podobnie wartość \(\displaystyle{ F\left( x\right)}\) oznacza odpowiednie pole. Ponieważ pole sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest równe sumie (arytmetycznej) ich pól, więc różnica \(\displaystyle{ F\left( x_1\right) - F\left( x\right)}\) oznacza pole pomiędzy wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=f(u)}\), a osią \(\displaystyle{ x}\), od punktu \(\displaystyle{ u=x}\) do punktu \(\displaystyle{ u=x_1}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to na mocy twierdzenia Weierstrassa funkcja ta osiąga wartość najmniejszą \(\displaystyle{ m \in \RR_+}\) i osiąga wartość największą \(\displaystyle{ M \in \RR_+}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, x _{1} \right]}\). Dokładniej, dla \(\displaystyle{ x_1>x}\), to niech:
\(\displaystyle{ M\left( x_1\right)= \sup\limits_{t \in \left[ x,x_1\right] } \left\{ f\left( t\right) \right\};}\) i niech:
\(\displaystyle{ m\left( x_1\right) = \inf\limits_{t \in \left[ x,x_1\right] } \left\{ f\left( t\right) \right\}. }\)
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) =f \left( x\right) = \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right).}\)
Ale ponieważ:
\(\displaystyle{ \left( x_1-x\right)m\left( x_1\right) \le F\left( x_1\right)-F\left( x\right) \le \left( x_1-x\right)M\left( x_1\right) ,}\)
gdyż iloczyn po lewej stronie nierówności oznacza pole prostokąta od punktu \(\displaystyle{ x}\) do punktu \(\displaystyle{ x_1}\) na pierwszej osi, i o wysokości \(\displaystyle{ m}\); i podobnie iloczyn po prawej stronie nierówności oznacza pole odpowiedniego prostokąta o wysokości \(\displaystyle{ M}\), widać więc, że w tym drugim przypadku pole to będzie większe lub równe od pola pod wykresem funkcji a nad pierwszą osią \(\displaystyle{ u}\), zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x_1>x}\), to \(\displaystyle{ x_1-x>0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ m\left( x_1\right) \le \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} \le M\left( x_1\right). }\)
A ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) =f \left( x\right) = \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right)}\), to:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) \le \lim_{ x_1\to x_{+} } \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} \le \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right)=f\left( x\right).
}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \lim_{ x_1\to x ^{+} } \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x _{1}-x } = \lim_{ x_1\to x} \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} = F ^{'} \left( x\right);}\)
i, z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ x,}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ F'=f. }\)
Niech teraz \(\displaystyle{ G}\) będzie dowolną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wtedy, na mocy tego co udowodniliśmy, również \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\), a zatem: dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C \in \RR}\), mamy: \(\displaystyle{ F\left( x\right)= G\left( x\right) +C}\), dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR, x \ge a}\). A zatem, z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ F\left( a\right)= \int\limits_{a}^{a} f\left( u\right) du= 0}\).
Na mocy powyższej charakteryzacji funkcji pierwotnych funkcji \(\displaystyle{ f}\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ F\left( x\right)= G\left( x\right)+C}\), gdzie to zachodzi dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C \in \RR}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), \(\displaystyle{ x \ge a}\). A zatem, w szczególności:
\(\displaystyle{ F\left( a\right) = G\left( a\right)+C = 0}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ C=-G\left( a\right)}\).
A zatem, dla każdego \(\displaystyle{ b \in \RR, b>a}\), mamy:
\(\displaystyle{ \int_\limits{a}^{b} f\left( u\right) du= F\left( b\right)= G\left( b\right)+C= G\left( b\right) -G\left( a\right),}\)
dla dowolnej ustalonej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ G}\) funkcji \(\displaystyle{ f.\square}\)
W praktyce spotyka się takie straszne zjawisko, że wyznaczając całkę nieoznaczoną, wyznacza się funkcję pierwotną danej funkcji, a potem dopisuje się do niej dowolną stałą \(\displaystyle{ C}\). Ciekawe jestem jakim cudem ??? To już jest prawdziwa magia. W matematyce (tzn. w rozumowaniu matematycznym) nic nie dzieje się bez przyczyny. A zatem takie przejście jest kompletną bzdurą (no chyba, że weźmiemy \(\displaystyle{ C=0}\)). Po co tak robić?? Może tylko po to, żeby dopasować całkę do formalnej definicji całki nieoznaczonej. Tylko, jak widać na moim przykładzie, takie postępowanie nijak nawet nie przypomina formalnej definicji- nie róbcie dziadostwa z matematyki Głowa boli...
Jasne jest, że jeżeli boki prostokąta mają długości naturalne dodatnie, to jego pole jest równe iloczynowi długości ich boków. W książce 'Co to jest matematyka' uzasadniono, że odpowiedni do tego fakt będzie zachodził dla wymiernych długości boków. Aby to uzasadnić weźmy trochę konkretniejszą sytuację; tzn. niech: \(\displaystyle{ a= \frac{m}{2},b= \frac{m'}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ m,m' \in \NN_+}\). Rozważmy rozkład tego kwadratu na kwadraciki jednostkowe o wspólnej mierze \(\displaystyle{ \frac{1}{6}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}\). Wtedy pole takiego jednostkowego kwadratu wynosi oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\). Wszystkich takich kwadracików jest \(\displaystyle{ \left( 3m\right) \cdot \left( 2m'\right)}\), zatem pole całego prostokąta wynosi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{36} \right)6m \cdot m'= \frac{1}{6} m \cdot m'=}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ m=2a}\) i \(\displaystyle{ m'= 3b}\), więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = ab.\square}\)
Zapewne w podobny sposób można uzasadnić wzór na pole prostokąta o dowolnych dodatnich wymiernych długościach boków.
Jeśli zaś \(\displaystyle{ a,b \in \RR_+}\) są dowolnymi liczbami dodatnimi, a \(\displaystyle{ S}\) jest prostokątem o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to:
Przybliżamy te długości liczbami wymiernymi \(\displaystyle{ \QQ\ni x_n \approx a}\) i \(\displaystyle{ \QQ\ni y_n\approx b}\). Widać, że im lepiej przybliżymy te obydwie osie prostokąta tym dokładniej obliczymy jego pole. Stąd pole takiego prostokąta jest równe:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } \left( x_{n} \cdot y _{n}\right) = \lim_{ n\to + \infty } x_n \cdot \lim_{ n\to + \infty } y_n= a \cdot b.\square}\)
Zastosujmy podobne rozumowanie dla kostki prostopadłościennej:
Oczywistym jest, że objętość kostki o wymiarach naturalnych dodatnich jest równa iloczynowi długości ich krawędzi.
Wykażemy, że podobny fakt będzie zachodził dla kostki o wymiernych, a potem wykażemy fakt dla kostki o dowolnych (nawet niewymiernych) długościach ich krawędzi.
Rozważmy kostkę o wymiarach \(\displaystyle{ x \times y \times z}\), gdzie \(\displaystyle{ x= \frac{a}{n _{a} } \in \QQ}\), \(\displaystyle{ y= \frac{b}{n_b} \in \QQ}\) i \(\displaystyle{ z= \frac{c}{ n _{c} } \in \QQ.}\)
Niech \(\displaystyle{ N:= \frac{1}{n_a \cdot n_b \cdot n_c}}\) będzie wspólną miarą tych trzech osi.
Wtedy dzieląc kostkę na jednostkowe sześcianiki o boku \(\displaystyle{ N}\) otrzymamy, że jego objętość jest równa:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n_a n _{b} n _{c} } \right) ^{3}}\), a wszystkich takich sześcianów jest \(\displaystyle{ \left( a \cdot n _{b} n _{c} \right) \cdot \left( b \cdot n _{a} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( c \cdot n _{a} \cdot n _{b} \right) =}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ a= x \cdot n_a, b=y \cdot n_b}\) i \(\displaystyle{ c= z \cdot n_c}\), to objętość całej kostki jest równa:
\(\displaystyle{ = \left( \frac{1}{n_a n _{b} n _{c} } \right) ^{3} \cdot \left( a \cdot n _{b} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( b \cdot n _{a} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( c \cdot n _{a} \cdot n _{b} \right) =\left( \frac{1}{n_a \cdot n _{b} \cdot n _{c} } \right) ^{3} \cdot \left( x \cdot n_a \cdot n_b \cdot n_c\right) \left( y \cdot n_b \cdot n_a \cdot n_c\right) \cdot \left( z \cdot n_c \cdot n_a \cdot n_b\right) = \\ = xyz.\square}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR_+}\), a \(\displaystyle{ S}\) jest kostką o krawędziach \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c,}\) to podobnie jak dla pola, podobnie i tutaj, przybliżając te długości osi liczbami wymiernymi otrzymamy podobnie, że objętość takiej kostki wynosi \(\displaystyle{ abc}\).
Dodam tutaj jeszcze jeden dowodzik:
Przypomnę może najpierw, że podzbiór\(\displaystyle{ A \subset \RR}\) prostej liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem całkowito-pełnym, gdy z każdymi jego dwoma elementami \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) każda pośrednia liczba całkowita (tzn. taka liczba całkowita, że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\)) do niego należy.
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest całkowito-pełny, gdy wchodząc do środka zbioru zbiór taki zawiera wszystkie liczby całkowite.
Można pokazać, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, to przekrój \(\displaystyle{ A \cap \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right)}\).
My wykażemy, że przekrój dwóch zbiorów całkowito-pełnych jest zbiorem całkowito-pełnym.
Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) będą zbiorami całkowito-pełnymi. Wykażemy, że przekrój \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest zbiorem całkowito-pełnym.
W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A \cap B}\), oraz weźmy liczbę całkowitą \(\displaystyle{ b}\), taką, że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \in A \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A, b \in \ZZ}\) i \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ b \in A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest całkowito-pełny, więc rozumując podobnie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b \in B}\). A zatem \(\displaystyle{ b \in A \cap B,}\) i zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest całkowito-pełny\(\displaystyle{ .\square}\)
Niech \(\displaystyle{ y=f\left( u\right)}\), będzie funkcją ciągłą \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR _{+} .}\)
Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na każdym przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\).
Wykażemy, że wtedy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f\left( u\right)du = G\left( b\right)- G\left( a\right),}\)
dla dowolnej ustalonej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ G}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Dla każdego \(\displaystyle{ x \ge a}\), niech:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int\limits_{a}^{x} f\left( u\right) d\left( u\right).}\)\(\displaystyle{ }\)
Wykażemy najpierw, że:
\(\displaystyle{ F ^{'}\left( x\right) =f\left( x\right), \hbox{ dla każdego } x>a.}\)
Niech \(\displaystyle{ x>a}\), i niech \(\displaystyle{ x_1>x.}\)
Wiemy, że wartość funkcji \(\displaystyle{ F\left( x_1\right)}\), zdefiniowana jako całka, oznacza pole pomiędzy wykresem funkcji \(\displaystyle{ y= f\left( u\right)}\), a osią \(\displaystyle{ x}\), od punktu \(\displaystyle{ u=a}\) do punktu \(\displaystyle{ u=x_1}\). Podobnie wartość \(\displaystyle{ F\left( x\right)}\) oznacza odpowiednie pole. Ponieważ pole sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest równe sumie (arytmetycznej) ich pól, więc różnica \(\displaystyle{ F\left( x_1\right) - F\left( x\right)}\) oznacza pole pomiędzy wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=f(u)}\), a osią \(\displaystyle{ x}\), od punktu \(\displaystyle{ u=x}\) do punktu \(\displaystyle{ u=x_1}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to na mocy twierdzenia Weierstrassa funkcja ta osiąga wartość najmniejszą \(\displaystyle{ m \in \RR_+}\) i osiąga wartość największą \(\displaystyle{ M \in \RR_+}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, x _{1} \right]}\). Dokładniej, dla \(\displaystyle{ x_1>x}\), to niech:
\(\displaystyle{ M\left( x_1\right)= \sup\limits_{t \in \left[ x,x_1\right] } \left\{ f\left( t\right) \right\};}\) i niech:
\(\displaystyle{ m\left( x_1\right) = \inf\limits_{t \in \left[ x,x_1\right] } \left\{ f\left( t\right) \right\}. }\)
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) =f \left( x\right) = \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right).}\)
Ale ponieważ:
\(\displaystyle{ \left( x_1-x\right)m\left( x_1\right) \le F\left( x_1\right)-F\left( x\right) \le \left( x_1-x\right)M\left( x_1\right) ,}\)
gdyż iloczyn po lewej stronie nierówności oznacza pole prostokąta od punktu \(\displaystyle{ x}\) do punktu \(\displaystyle{ x_1}\) na pierwszej osi, i o wysokości \(\displaystyle{ m}\); i podobnie iloczyn po prawej stronie nierówności oznacza pole odpowiedniego prostokąta o wysokości \(\displaystyle{ M}\), widać więc, że w tym drugim przypadku pole to będzie większe lub równe od pola pod wykresem funkcji a nad pierwszą osią \(\displaystyle{ u}\), zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x_1>x}\), to \(\displaystyle{ x_1-x>0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ m\left( x_1\right) \le \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} \le M\left( x_1\right). }\)
A ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) =f \left( x\right) = \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right)}\), to:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) \le \lim_{ x_1\to x_{+} } \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} \le \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right)=f\left( x\right).
}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \lim_{ x_1\to x ^{+} } \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x _{1}-x } = \lim_{ x_1\to x} \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} = F ^{'} \left( x\right);}\)
i, z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ x,}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ F'=f. }\)
Niech teraz \(\displaystyle{ G}\) będzie dowolną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wtedy, na mocy tego co udowodniliśmy, również \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\), a zatem: dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C \in \RR}\), mamy: \(\displaystyle{ F\left( x\right)= G\left( x\right) +C}\), dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR, x \ge a}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ F\left( a\right)= \int\limits_{a}^{a} f\left( u\right) du= 0}\).
Na mocy powyższej charakteryzacji funkcji pierwotnych funkcji \(\displaystyle{ f}\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ F\left( x\right)= G\left( x\right)+C}\), gdzie to zachodzi dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C \in \RR}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), \(\displaystyle{ x \ge a}\). A zatem, w szczególności:
\(\displaystyle{ F\left( a\right) = G\left( a\right)+C = 0}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ C=-G\left( a\right)}\).
A zatem, dla każdego \(\displaystyle{ b \in \RR, b>a}\), mamy:
\(\displaystyle{ \int_\limits{a}^{b} f\left( u\right) du= F\left( b\right)= G\left( b\right)+C= G\left( b\right) -G\left( a\right),}\)
dla dowolnej ustalonej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ G}\) funkcji \(\displaystyle{ f.\square}\)
W praktyce spotyka się takie straszne zjawisko, że wyznaczając całkę nieoznaczoną, wyznacza się funkcję pierwotną danej funkcji, a potem dopisuje się do niej dowolną stałą \(\displaystyle{ C}\). Ciekawe jestem jakim cudem ??? To już jest prawdziwa magia. W matematyce (tzn. w rozumowaniu matematycznym) nic nie dzieje się bez przyczyny. A zatem takie przejście jest kompletną bzdurą (no chyba, że weźmiemy \(\displaystyle{ C=0}\)). Po co tak robić?? Może tylko po to, żeby dopasować całkę do formalnej definicji całki nieoznaczonej. Tylko, jak widać na moim przykładzie, takie postępowanie nijak nawet nie przypomina formalnej definicji- nie róbcie dziadostwa z matematyki Głowa boli...
Jasne jest, że jeżeli boki prostokąta mają długości naturalne dodatnie, to jego pole jest równe iloczynowi długości ich boków. W książce 'Co to jest matematyka' uzasadniono, że odpowiedni do tego fakt będzie zachodził dla wymiernych długości boków. Aby to uzasadnić weźmy trochę konkretniejszą sytuację; tzn. niech: \(\displaystyle{ a= \frac{m}{2},b= \frac{m'}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ m,m' \in \NN_+}\). Rozważmy rozkład tego kwadratu na kwadraciki jednostkowe o wspólnej mierze \(\displaystyle{ \frac{1}{6}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}\). Wtedy pole takiego jednostkowego kwadratu wynosi oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\). Wszystkich takich kwadracików jest \(\displaystyle{ \left( 3m\right) \cdot \left( 2m'\right)}\), zatem pole całego prostokąta wynosi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{36} \right)6m \cdot m'= \frac{1}{6} m \cdot m'=}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ m=2a}\) i \(\displaystyle{ m'= 3b}\), więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = ab.\square}\)
Zapewne w podobny sposób można uzasadnić wzór na pole prostokąta o dowolnych dodatnich wymiernych długościach boków.
Jeśli zaś \(\displaystyle{ a,b \in \RR_+}\) są dowolnymi liczbami dodatnimi, a \(\displaystyle{ S}\) jest prostokątem o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to:
Przybliżamy te długości liczbami wymiernymi \(\displaystyle{ \QQ\ni x_n \approx a}\) i \(\displaystyle{ \QQ\ni y_n\approx b}\). Widać, że im lepiej przybliżymy te obydwie osie prostokąta tym dokładniej obliczymy jego pole. Stąd pole takiego prostokąta jest równe:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } \left( x_{n} \cdot y _{n}\right) = \lim_{ n\to + \infty } x_n \cdot \lim_{ n\to + \infty } y_n= a \cdot b.\square}\)
Zastosujmy podobne rozumowanie dla kostki prostopadłościennej:
Oczywistym jest, że objętość kostki o wymiarach naturalnych dodatnich jest równa iloczynowi długości ich krawędzi.
Wykażemy, że podobny fakt będzie zachodził dla kostki o wymiernych, a potem wykażemy fakt dla kostki o dowolnych (nawet niewymiernych) długościach ich krawędzi.
Rozważmy kostkę o wymiarach \(\displaystyle{ x \times y \times z}\), gdzie \(\displaystyle{ x= \frac{a}{n _{a} } \in \QQ}\), \(\displaystyle{ y= \frac{b}{n_b} \in \QQ}\) i \(\displaystyle{ z= \frac{c}{ n _{c} } \in \QQ.}\)
Niech \(\displaystyle{ N:= \frac{1}{n_a \cdot n_b \cdot n_c}}\) będzie wspólną miarą tych trzech osi.
Wtedy dzieląc kostkę na jednostkowe sześcianiki o boku \(\displaystyle{ N}\) otrzymamy, że jego objętość jest równa:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n_a n _{b} n _{c} } \right) ^{3}}\), a wszystkich takich sześcianów jest \(\displaystyle{ \left( a \cdot n _{b} n _{c} \right) \cdot \left( b \cdot n _{a} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( c \cdot n _{a} \cdot n _{b} \right) =}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ a= x \cdot n_a, b=y \cdot n_b}\) i \(\displaystyle{ c= z \cdot n_c}\), to objętość całej kostki jest równa:
\(\displaystyle{ = \left( \frac{1}{n_a n _{b} n _{c} } \right) ^{3} \cdot \left( a \cdot n _{b} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( b \cdot n _{a} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( c \cdot n _{a} \cdot n _{b} \right) =\left( \frac{1}{n_a \cdot n _{b} \cdot n _{c} } \right) ^{3} \cdot \left( x \cdot n_a \cdot n_b \cdot n_c\right) \left( y \cdot n_b \cdot n_a \cdot n_c\right) \cdot \left( z \cdot n_c \cdot n_a \cdot n_b\right) = \\ = xyz.\square}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR_+}\), a \(\displaystyle{ S}\) jest kostką o krawędziach \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c,}\) to podobnie jak dla pola, podobnie i tutaj, przybliżając te długości osi liczbami wymiernymi otrzymamy podobnie, że objętość takiej kostki wynosi \(\displaystyle{ abc}\).
Dodam tutaj jeszcze jeden dowodzik:
Przypomnę może najpierw, że podzbiór\(\displaystyle{ A \subset \RR}\) prostej liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem całkowito-pełnym, gdy z każdymi jego dwoma elementami \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) każda pośrednia liczba całkowita (tzn. taka liczba całkowita, że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\)) do niego należy.
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest całkowito-pełny, gdy wchodząc do środka zbioru zbiór taki zawiera wszystkie liczby całkowite.
Można pokazać, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, to przekrój \(\displaystyle{ A \cap \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right)}\).
My wykażemy, że przekrój dwóch zbiorów całkowito-pełnych jest zbiorem całkowito-pełnym.
Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) będą zbiorami całkowito-pełnymi. Wykażemy, że przekrój \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest zbiorem całkowito-pełnym.
W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A \cap B}\), oraz weźmy liczbę całkowitą \(\displaystyle{ b}\), taką, że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \in A \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A, b \in \ZZ}\) i \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ b \in A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest całkowito-pełny, więc rozumując podobnie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b \in B}\). A zatem \(\displaystyle{ b \in A \cap B,}\) i zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest całkowito-pełny\(\displaystyle{ .\square}\)