Matematyka.pl

Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ m \geq1}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), która jest sumą dwóch liczb pierwszych na co najmniej \(\displaystyle{ m}\) różnych sposobów.

Przykład
\(\displaystyle{ m=3 \ , \\ n=30 = 7+ 23 = 11+19 = 13+17}\)

Jeżeli weźmiemy liczbę \(\displaystyle{ n}\) naturalną dowolną to ilość liczb pierwszych \(\displaystyle{ \le n, \pi(n)}\) to procentowo w niej nie rośnie ale idzie to w granicach:

\(\displaystyle{ \pi(n) \approx f(n)= \frac{n}{\ln n} }\)

sumy dwóch liczb naturalnych:\(\displaystyle{ 1 \le x, y \le n}\)

oscylują w granicach:

\(\displaystyle{ 1<x+y<2n}\)

Powiedzmy, że sum tych jest na okrągło: \(\displaystyle{ 2n}\)

Natomiast par złożonych z liczb pierwszych jest na okrągło:

\(\displaystyle{ {\left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor \choose 2} = \frac{\left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor !}{\left(\left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor-2 \right)! \cdot 2 } = \frac{\left(\left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor-1 \right) \cdot \left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor }{2} }\)

tyle samo jest różnych sum tych liczb pierwszych, lecz sumy te nie przekraczają \(\displaystyle{ 2n}\)

Więc podzielimy ilość tych sum na \(\displaystyle{ 2n}\)

i otrzymamy funkcję:

\(\displaystyle{ h(n)= \frac{\left(\left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor-1 \right) \cdot \left\lfloor \frac{n}{\ln n} \right\rfloor }{4n} }\)

funkcja ta zlicza z przybliżeniem ile razy w najgorszym wypadku sumy dwóch liczb pierwszych mogą wygenerować pewną liczbę naturalną...

I funkcja ta będzie powoli ale dążyć do nieskończoności od pewnego \(\displaystyle{ n}\) co da tezę zadania...

Jak za \(\displaystyle{ n}\) podstawiłby: \(\displaystyle{ e^n}\) to wida by było, że funkcja ta rośnie skokami do \(\displaystyle{ \infty}\) ...