Matematyka.pl

W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) dane są zbiory \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\) zwarte, o spójnych dopełnieniach i takie, że przekrój \(\displaystyle{ A\cap B}\) jest co najwyżej jednoelementowy. Czy zbiór \(\displaystyle{ \RR^n\setminus(A\cup B)}\) jest spójny?

Weź płaszczyznę, tzn. \(\displaystyle{ n=2}\), a za zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) weź dwa koła domknięte o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) leżące wzdłuż osi \(\displaystyle{ x}\) styczne w jednym punkcie... Choć nie jestem tutaj pewien czy płaszczyzna z wyrzuconymi takimi dwoma kołami domkniętymi nie będzie zbiorem spójnym, może będzie to zbiór spójny...
( Zbiory nie są tutaj zwarte, tylko domknięte i ograniczone, proszę nie straszyć tutaj niepotrzebnie...)

Zbiory nie są tutaj zwarte, tylko domknięte i ograniczone, proszę nie straszyć tutaj niepotrzebnie

Ten punkt jest dla mnie niejasny...

Jakub Gurak pisze: ↑24 mar 2024, o 17:31 Weź płaszczyznę, tzn. \(\displaystyle{ n=2}\), a za zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) weź dwa koła domknięte o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) leżące wzdłuż osi \(\displaystyle{ x}\) styczne w jednym punkcie...

Ale o czym miałby świadczyć ten przykład?

Pytanie matmatmm było ogólne, a Ty podajesz przykład pasujący do tezy. Czyżbyś próbował dowieść twierdzenie ogólne przez przykład?!

JK

Nie, chciałem podać tutaj kontrprzykład; tylko nie wiem czy taki kontrprzykład będzie tutaj dobry; powstaje pytanie: czy płaszczyzna z wyrzuconymi dwoma kołami domkniętymi nie jest zbiorem spójnym... ciężko powiedzieć, intuicja podpowiada, że chyba będzie to zbiór spójny, bo będzie to zbiór 'w jednym' kawałku, a jeśli nie, to mamy kontrprzykład...

To może nie rzucaj przykładami, jak nie jesteś pewien ich poprawności (i niezbyt rozumiesz pojęcia, których dotyczy pytanie).

Płaszczyzna z wyrzuconymi dwoma kołami w oczywisty sposób jest zbiorem spójnym (a nawet łukowo spójnym).