Matematyka.pl

Hej, proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania, z góry dziękuje.

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ µ}\) oraz odchylenie standardowe \(\displaystyle{ σ}\) jakie może być największe prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X}\) przyjmie wartość większą niż \(\displaystyle{ µ + aσ}\)?

W obecnej formie zadanie jest, delikatnie mówiąc, niezrozumiałe. Pytanie jest o największą możliwą wartość \(\displaystyle{ \mathbb P(X>\mu+a\sigma)}\), ale przecież przy ustalonym rozkładzie (którego nawiasem mówiąc nie znamy) ta wartość się nie zmienia. Czy może pytamy o największą możliwą wartość tego wyrażenia, zmieniając rozkład? Poza tym czym jest \(\displaystyle{ a}\)?

Zadanie ma sens, gdy \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(m, \sigma).}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ P(X> \mu+ a\sigma) = 1 - P(X\leq \mu +a\sigma) = 1 - P\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mu+ a\sigma-\mu}{\sigma} \right)= 1 - P(Z\leq a) = 1 - \phi(a)}\)

Wartość tego prawdopodobienstwa jest maksymalna dla \(\displaystyle{ a = 0 }\) i wynosi \(\displaystyle{ 1 -\phi(0) = 0,5.}\)