Strona 1 z 1
Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 20 mar 2024, o 18:59
autor: inusia146
Czy nierówność \(\displaystyle{ |x+8|<|7-x|}\) mogę rozwiązać, zastępując ją koniunkcją nierówności: \(\displaystyle{ x+8<7-x \ \wedge \ x+8>x-7}\)? Wynik wychodzi dobry, ale zastanawiam się, czy sposób jest poprawny?
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 20 mar 2024, o 19:14
autor: Dasio11
Raczej nie, bo na jakiej podstawie taka zamiana? Na ogół \(\displaystyle{ |a| < |b|}\) nie jest równoważne \(\displaystyle{ a < b \wedge a > -b}\), bo \(\displaystyle{ b}\) może być ujemne.
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 20 mar 2024, o 19:36
autor: Gouranga
Nie, musisz znaleźć punkty zmiany znaku dla obu tych wartości bezwzględnych (dla lewej jest to oczywiście -8, dla prawej 7) i rozważasz 3 przedziały:
\(\displaystyle{
x \le -8, -8 < x \le 7, 7 < x
}\)
z każdego z tych przedziałów bierzesz przykładową liczbę, wstawiasz za x, jeśli wnętrze wartości bezwzględnej wychodzi dodatnie to ją pomijasz, jeśli ujemne to pomijasz ze zmianą znaków wszystkiego w niej i rozwiązujesz 3 nierówności, z każdej z nich musisz wziąć część wspólną jej rozwiązania i przedziału, z którego wyniknęła
np. dla przedziału \(\displaystyle{ x \le -8}\) masz \(\displaystyle{ -x- 8 < 7-x \rightarrow -8<7}\) więc cały przedział \(\displaystyle{ x \le-8}\) jest rozwiązaniem
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 20 mar 2024, o 19:50
autor: arek1357
jest złym rozwiązaniem
Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
Gouranga pisze: ↑20 mar 2024, o 19:36
Nie, musisz znaleźć punkty zmiany znaku dla obu tych wartości bezwzględnych (dla lewej jest to oczywiście -8, dla prawej 7) i rozważasz 3 przedziały:
\(\displaystyle{
x \le -8, -8 < x \le 7, 7 < x
}\)
z każdego z tych przedziałów bierzesz przykładową liczbę, wstawiasz za x, jeśli wnętrze wartości bezwzględnej wychodzi dodatnie to ją pomijasz, jeśli ujemne to pomijasz ze zmianą znaków wszystkiego w niej i rozwiązujesz 3 nierówności, z każdej z nich musisz wziąć część wspólną jej rozwiązania i przedziału, z którego wyniknęła
np. dla przedziału
\(\displaystyle{ x \le -8}\) masz
\(\displaystyle{ -x- 8 < 7-x \rightarrow -8<7}\) więc cały przedział
\(\displaystyle{ x \le-8}\) jest rozwiązaniem
Może jestem dziwny ale ten sposób rozwiązania do mnie nie przemawia
Być może powodem tego stanu rzeczy jest moje nikłe wykształcenie ja znam tylko 1 sposób...
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 20 mar 2024, o 20:54
autor: Jan Kraszewski
arek1357 pisze: ↑20 mar 2024, o 19:53Być może powodem tego stanu rzeczy jest moje nikłe wykształcenie ja znam tylko 1 sposób...
No cóż, to jest ten sam sposób, który znasz, tylko inaczej opowiedziany...
A nierówność
\(\displaystyle{ |x+8|<|7-x|}\), czyli
\(\displaystyle{ |x+8|<|x-7|}\) najprościej (bez rachunków) rozwiązać korzystając z interpretacji geometrycznej. Zastanawiamy się, które liczby rzeczywiste są bliżej
\(\displaystyle{ -8}\) niż
\(\displaystyle{ 7}\) - oczywiście te z przedziału
\(\displaystyle{ \left( -\infty,-\frac12\right) . }\)
JK
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 20 mar 2024, o 21:15
autor: bosa_Nike
Przy porównywaniu tych dwóch ewidentnie nieujemnych wyrażeń bodaj najbardziej mechanicznym, a zarazem najbardziej "przypadkoodpornym" podejściem jest porównanie kwadratów tych wyrażeń.
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
: 21 mar 2024, o 08:55
autor: arek1357
No cóż, to jest ten sam sposób, który znasz, tylko inaczej opowiedziany...
Czytasz w myślach...