Matematyka.pl

1. Udowodnij, że 3 jest sumą trzech sześcianów liczb wymiernych.

2. Udowodnij, że każda liczba wymierna jest sumą trzech sześcianów liczb wymiernych.

Hir pisze: ↑18 mar 2024, o 22:331. Udowodnij, że 3 jest sumą trzech sześcianów liczb wymiernych.

Serio? ;P

Byc może miało być dwóch a nie trzech...

Jako dwóch się nie da (jeśli ktoś rozwiąże to zadanie: teoria-liczb-f26/zadania-na-dowodzenie-t456533.html )

Dasio11 pisze: ↑19 mar 2024, o 10:28

Hir pisze: ↑18 mar 2024, o 22:331. Udowodnij, że 3 jest sumą trzech sześcianów liczb wymiernych.

Serio? ;P

Gdyby ktoś najpierw zrobił drugie, pierwsze byłoby prostym wnioskiem z drugiego... ale czekamy na rozwiązanie

Taki zapis jako suma trzech sześcianów nie jest jednoznaczny, mamy też

\(\displaystyle{ 3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 + \left(\frac {-3}{4}\right)^3 + \left(\frac {17}{12} \right)^3}\)

\(\displaystyle{ u= \frac{3w-v^3}{3w+v^3} }\)
\(\displaystyle{ s= v(1+u)}\)
\(\displaystyle{ z=su }\)
\(\displaystyle{ t= \frac{s}{3(1-u^2)} }\)
\(\displaystyle{ x=s-t}\)
\(\displaystyle{ y=t-z}\)

i \(\displaystyle{ w = x^3+y^3+z^3}\)

Zobacz twierdzenie 234 strona 197 Hardy and Wright, An introduction to the theory of numbers.