[MIX] Mix matematyczny 47
: 17 mar 2024, o 21:08
1. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ f''(x) = f(x)f'(x).}\)
2. Czy istnieje funkcja, która nie jest sumą skończonej liczby funkcji okresowych ?
3. Kołem wpisanym w figurę ograniczoną \(\displaystyle{ F}\) nazywa się koło o możliwie największej średnicy zawarte w tej figurze (a koło opisane jako koło o najmniejszej możliwie średnicy, w której zawiera się ta figura). Mogą one być dla niektórych figur jedyne, jak w trójkącie, bądź nie, jak w prostokącie. Wykazać, że koło opisane jest jedyne.
Czy można nałożyć jakieś dodatkowe warunki na \(\displaystyle{ F}\) aby koło wpisane było jedyne ?
4. Gra na planszy
Na początku gry Gracz A ma zamalowane narożne lewe dolne pole , gracz B prawe górne . W każdym kolejnym ruchu zamalowują oni jedno pole, dowolne ale takie, które ma wspólny bok z innym polem już przez niego wcześniej zamalowanym. Wygrywa ten, który może zamalować pole zamalowane przez przeciwnika. Kto ma strategię wygrywającą (i jaką) ?
5. Mając dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}30^{x} = 2 \\ 30^{y}= 3\end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ 10^{\frac{2x+y}{1-y}}.}\)
6. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie liczbą cyfr w okresie rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(NWW(m, n) ) = NWW( f(m), f(n)),}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są dowolnymi liczbami naturalnymi.
Uwagi: Jeśli rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jest skończone to \(\displaystyle{ f(n)=1 }\).
7. Niech \(\displaystyle{ f(x) = 3x^2+1 }\). Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) iloczyn \(\displaystyle{ f(1) \cdot ... \cdot f(n)}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ n }\) różnych dzielników pierwszych.
APS
8. Zadanie H. Steinhausa
Podczas manewrów na oceanie okręty \(\displaystyle{ A, B, C}\) otrzymały od admirała lakoniczny rozkaz jak najszybszego skupienia się. Dzięki radiokomunikacji znane są trzem kapitanom pozycje statków - odległości są \(\displaystyle{ AB = 100 }\) mil, \(\displaystyle{ AC= 200 }\) mil, \(\displaystyle{ BC=220 }\) mil. Maksymalne prędkości są dla \(\displaystyle{ A }\) 15 węzłów, dla \(\displaystyle{ B }\) 20 węzłów, dla \(\displaystyle{ C }\) 12 węzłów.
Jak wykonać rozkaz ?
9. Prawie jak Fermat
Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją liczby całkowite, które przybliżają równanie dowolnie dokładnie \(\displaystyle{ x^n + y^n =z^n}\) (tj. \(\displaystyle{ \frac{x^n+y^n}{z^n}) \approx 1}\) ?
10. Rozwiązać równanie (wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) ) \(\displaystyle{ 2f(x)–3f(\frac{1}{x}) = x^2.}\)
11. Wektor inwersyjny permutacji \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n) }\) to \(\displaystyle{ (b_1,...,b_n) }\), gdzie \(\displaystyle{ b_i = | \{ j< i : a_j > a_i \} | }\). Udowodnić, że taki wektor wyznacza permutację w sposób jednoznaczny.
12. Punkt \(\displaystyle{ M }\) jest na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\), który jest środkiem łuku \(\displaystyle{ ACB }\), a punkt \(\displaystyle{ D }\) jest rzutem \(\displaystyle{ M }\) na bok \(\displaystyle{ AC }\). (\(\displaystyle{ AC > BC }\)). Udowodnić, że \(\displaystyle{ D }\) połowi łamaną \(\displaystyle{ ACB. }\)
Mathematical delights
13. Zweryfikować czy Graf Grotzscha jest
a) planarny b) hamiltonowski c) bez trójkątów d) regularny e) \(\displaystyle{ k }\) dzielny.
16. Czy istnieje \(\displaystyle{ n}\) kąt, który ma dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) osi symetrii ?
\(\displaystyle{ f''(x) = f(x)f'(x).}\)
2. Czy istnieje funkcja, która nie jest sumą skończonej liczby funkcji okresowych ?
3. Kołem wpisanym w figurę ograniczoną \(\displaystyle{ F}\) nazywa się koło o możliwie największej średnicy zawarte w tej figurze (a koło opisane jako koło o najmniejszej możliwie średnicy, w której zawiera się ta figura). Mogą one być dla niektórych figur jedyne, jak w trójkącie, bądź nie, jak w prostokącie. Wykazać, że koło opisane jest jedyne.
Czy można nałożyć jakieś dodatkowe warunki na \(\displaystyle{ F}\) aby koło wpisane było jedyne ?
4. Gra na planszy
Na początku gry Gracz A ma zamalowane narożne lewe dolne pole , gracz B prawe górne . W każdym kolejnym ruchu zamalowują oni jedno pole, dowolne ale takie, które ma wspólny bok z innym polem już przez niego wcześniej zamalowanym. Wygrywa ten, który może zamalować pole zamalowane przez przeciwnika. Kto ma strategię wygrywającą (i jaką) ?
5. Mając dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}30^{x} = 2 \\ 30^{y}= 3\end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ 10^{\frac{2x+y}{1-y}}.}\)
6. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie liczbą cyfr w okresie rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(NWW(m, n) ) = NWW( f(m), f(n)),}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są dowolnymi liczbami naturalnymi.
Uwagi: Jeśli rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) jest skończone to \(\displaystyle{ f(n)=1 }\).
7. Niech \(\displaystyle{ f(x) = 3x^2+1 }\). Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) iloczyn \(\displaystyle{ f(1) \cdot ... \cdot f(n)}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ n }\) różnych dzielników pierwszych.
APS
8. Zadanie H. Steinhausa
Podczas manewrów na oceanie okręty \(\displaystyle{ A, B, C}\) otrzymały od admirała lakoniczny rozkaz jak najszybszego skupienia się. Dzięki radiokomunikacji znane są trzem kapitanom pozycje statków - odległości są \(\displaystyle{ AB = 100 }\) mil, \(\displaystyle{ AC= 200 }\) mil, \(\displaystyle{ BC=220 }\) mil. Maksymalne prędkości są dla \(\displaystyle{ A }\) 15 węzłów, dla \(\displaystyle{ B }\) 20 węzłów, dla \(\displaystyle{ C }\) 12 węzłów.
Jak wykonać rozkaz ?
9. Prawie jak Fermat
Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją liczby całkowite, które przybliżają równanie dowolnie dokładnie \(\displaystyle{ x^n + y^n =z^n}\) (tj. \(\displaystyle{ \frac{x^n+y^n}{z^n}) \approx 1}\) ?
10. Rozwiązać równanie (wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) ) \(\displaystyle{ 2f(x)–3f(\frac{1}{x}) = x^2.}\)
11. Wektor inwersyjny permutacji \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n) }\) to \(\displaystyle{ (b_1,...,b_n) }\), gdzie \(\displaystyle{ b_i = | \{ j< i : a_j > a_i \} | }\). Udowodnić, że taki wektor wyznacza permutację w sposób jednoznaczny.
12. Punkt \(\displaystyle{ M }\) jest na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\), który jest środkiem łuku \(\displaystyle{ ACB }\), a punkt \(\displaystyle{ D }\) jest rzutem \(\displaystyle{ M }\) na bok \(\displaystyle{ AC }\). (\(\displaystyle{ AC > BC }\)). Udowodnić, że \(\displaystyle{ D }\) połowi łamaną \(\displaystyle{ ACB. }\)
Mathematical delights
13. Zweryfikować czy Graf Grotzscha jest
a) planarny b) hamiltonowski c) bez trójkątów d) regularny e) \(\displaystyle{ k }\) dzielny.
16. Czy istnieje \(\displaystyle{ n}\) kąt, który ma dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) osi symetrii ?