Matematyka.pl

1. Z punktu \(\displaystyle{ C}\) należącego do okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy: \(\displaystyle{ CA}\) i \(\displaystyle{ CB}\) o długościach \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 111}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina ten okrąg w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Wykaz, że odcinek \(\displaystyle{ CD}\) ma długość \(\displaystyle{ 9 \sqrt{2}. }\)

2. Dany jest trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ ABC}\) o boku długości \(\displaystyle{ a}\). Na bokach \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) obrano odpowiednio punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) takie, że \(\displaystyle{ |CK|= |BL|= \frac{1}{5} a. }\) Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ KL}\) przecina prostą \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\) odległym o \(\displaystyle{ \frac{1}{15} a }\) od punktu \(\displaystyle{ B}\).

1) Aby teza była prawdziwa to \(\displaystyle{ \left| CB\right|=11 }\).
Szybki sposób to wrzucenie zadania w układ równań np tak: \(\displaystyle{ C=(0,0) \ , \ A=(7,0) \ , \ B=(0,11) \ , \ }\) i znalezienie przecięcia prostej \(\displaystyle{ y=x}\) z okręgiem o środku \(\displaystyle{ O= \left( \frac{7}{2}, \frac{11}{2}\right) }\).
inaczej:
Niech x będzie kątem między promieniem a odcinkiem CB
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{|DC|}{2} }{R}=\cos (45^\circ-x) \\
\frac{ \frac{|DC|}{2} }{R}=\cos 45^\circ \cos x +\sin 45^\circ \sin x \\
\frac{ \frac{|DC|}{2} }{R}= \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \frac{|BC|}{2} }{R}+\frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \frac{|AC|}{2} }{R}\\
\left| CD\right| =\frac{ \sqrt{2} }{2}(|AC|+|BC)|}\)

Dodano po 58 minutach 41 sekundach:
2) Tu wrzucenie w układ równań też da szybki wynik
inaczej
k' i L' to rzuty K, L na AB
Z Talesa, podobieństwa trójkątów itd:
\(\displaystyle{ \frac{|K'B|+|BP|}{|KK'|} = \frac{|L'B|+|BP|}{|LL'|} \\
\frac{| \frac{3a}{5} +|BP|}{4|LL'|} = \frac{\frac{a}{10} +|BP|}{|LL'|} }\)