Dowód niewymierności pierwiastka z 2
: 14 mar 2024, o 03:35
Chodzi mi o dowód Z Fichtenholz. Cytuję:
"Dla dowodu przypuśćmy, że zachodzi własność przeciwna: istnieje taki ułamek \(\displaystyle{ \frac{p}{q} }\), że \(\displaystyle{ ( \frac{p}{q}) ^{2}=2 }\). Mamy prawo założyć, że ułamek ten jest nieskracalny, tj. że \(\displaystyle{ p }\) i \(\displaystyle{ q }\) nie mają wspólnych dzielników. Ponieważ \(\displaystyle{ p ^{2}=2q ^{2} }\) , więc \(\displaystyle{ p }\) jest liczbą parzystą: \(\displaystyle{ p=2r }\)(r-liczba całkowita), a zatem q jest liczbą nieparzystą. Zastępując \(\displaystyle{ p }\) przez \(\displaystyle{ 2r }\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ q^{2}=2r ^{2} }\),skąd wynika, że q jest liczbą parzystą. Dojście do sprzeczności potwierdza słuszność naszego twierdzenia."
Czy może mi ktoś prosto wytłumaczyć skąd i dlaczego on wysnuł wniosek. że \(\displaystyle{ q }\) jest liczbą nieparzystą ?
"Dla dowodu przypuśćmy, że zachodzi własność przeciwna: istnieje taki ułamek \(\displaystyle{ \frac{p}{q} }\), że \(\displaystyle{ ( \frac{p}{q}) ^{2}=2 }\). Mamy prawo założyć, że ułamek ten jest nieskracalny, tj. że \(\displaystyle{ p }\) i \(\displaystyle{ q }\) nie mają wspólnych dzielników. Ponieważ \(\displaystyle{ p ^{2}=2q ^{2} }\) , więc \(\displaystyle{ p }\) jest liczbą parzystą: \(\displaystyle{ p=2r }\)(r-liczba całkowita), a zatem q jest liczbą nieparzystą. Zastępując \(\displaystyle{ p }\) przez \(\displaystyle{ 2r }\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ q^{2}=2r ^{2} }\),skąd wynika, że q jest liczbą parzystą. Dojście do sprzeczności potwierdza słuszność naszego twierdzenia."
Czy może mi ktoś prosto wytłumaczyć skąd i dlaczego on wysnuł wniosek. że \(\displaystyle{ q }\) jest liczbą nieparzystą ?