Wykaż że dla kąta ostrego alfa podana równość jest tożsamością

[Piotrek7654]

\(\displaystyle{ \frac{1-2\cos ^{2} \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha } = \sin\alpha - \cos\alpha}\)
Zrobiłem to zadanie w ten sposób, że obie strony pomnożyłem przez mianownik, a później \(\displaystyle{ -2\cos^{2}\alpha}\) przeniosłem na prawą stronę i wyszło 1=1. Nauczyciel jednak powiedział, że jest źle, bo trzeba było zrobić mniej więcej tak: L=...=...=P, L=P c.k.d (przekształcić lewą stronę tak, żeby otrzymać prawą)
Moim zdaniem jest to po prostu bezmyślne powtarzanie schematów, bo
\(\displaystyle{ a=b \Leftrightarrow a \cdot c=b \cdot c}\)
oraz
\(\displaystyle{ a=b \Leftrightarrow a+c=b+c}\)
Czy jest mi ktoś w stanie wytłumaczyć, dlaczego trzeba to zrobić tak, jak nauczyciel?

[Dasio11]

Twój sposób jest poprawny o ile wyraźnie napiszesz, że wszystkie przejścia są równoważne, tak żeby nie wyglądało, że zakładasz tezę i dochodzisz do prawdy. Sposób nauczyciela nie wymaga dodatkowego komentarza, być może właśnie dlatego jest to jego standardowe zalecenie, bo z prawidłowym komentowaniem dowodów bywają na tym poziomie kłopoty.

[Jan Kraszewski]

Jeżeli dodasz odpowiedni komentarz, że wykonujesz przekształcenia równoważne (i są one istotnie równoważne), to może być.

Moim zdaniem jest to po prostu bezmyślne powtarzanie schematów, bo
\(\displaystyle{ a=b \Leftrightarrow a \cdot c=b \cdot c}\)

Z tym to bym akurat uważał, bo to nieprawda... Tu jest potrzebne dodatkowe założenie.

I nie chodzi raczej o bezmyślne powtarzanie schematów: dowód w wersji nauczyciela jest bardziej elegancki, co nie znaczy, że Twój jest niepoprawny (ale wymaga odpowiedniego komentarza).

JK