Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f_n(x) = x^n}\) jest sumą \(\displaystyle{ n+1}\) okresowych funkcji \(\displaystyle{ \mathbb R \to \mathbb R}\) (oraz że nie jest sumą \(\displaystyle{ n}\) takich funkcji).
Re: Funkcja potęgowa jako suma funkcji okresowych
: 11 mar 2024, o 22:34
autor: mol_ksiazkowy
część II indukcyjnie: nie wprost: Jeśli \(\displaystyle{ x^n = \sum_{j=1}^{n} f_j(x)}\) , \(\displaystyle{ f_j }\) jest okresowa o okresie \(\displaystyle{ s_j}\), to \(\displaystyle{ (x+s_n)^n - x^{n} = \sum_{j=1}^{n-1} ( f_j(x+s_n) - f_j(x) )}\), (ostatni składnik znika) i po lewej stronie jest wielomian stopnia \(\displaystyle{ n-1}\): sprzeczność z założeniem indukcyjnym. \(\displaystyle{ n=1}\) to oczywisty przypadek
Re: Funkcja potęgowa jako suma funkcji okresowych
: 12 mar 2024, o 13:06
autor: arek1357
Już dość trudno poszukać dla funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)
sumy dwóch funkcji okresowych ale wydaje się, że może być to możliwe stosując bazy Hamela czyli stąpanie po kruchym lodzie, funkcje będą np.
okresowe wzdłuż jakiejś współrzędnej a ich suma może wtedy wynieść \(\displaystyle{ x}\) bo każdą liczbę można zapisać jako kombinację w bazie Hamela, gorzej trochę z samą konstrukcja ale można się pobawić...
Re: Funkcja potęgowa jako suma funkcji okresowych
: 12 mar 2024, o 16:47
autor: Dasio11
Bardzo fajne zadanie. Poniżej rozwiązanie nieco może górnolotnym językiem, ale myślę, że trafnie identyfikującym istotę problemu.
Niech \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) będzie dowolną funkcją. Dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) określamy \(\displaystyle{ \Delta_t f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) wzorem \(\displaystyle{ (\Delta_t f)(x) = f(x) - f(x-t)}\). Zachodzą różne naturalne własności, w tym:
- \(\displaystyle{ \Delta_t f \equiv 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ t}\) jest okresem \(\displaystyle{ f}\);
- \(\displaystyle{ \Delta_t \Delta_s f = \Delta_s \Delta_t f}\);
- \(\displaystyle{ \Delta_t (f+g) = \Delta_t f + \Delta_t g}\).
Będę z nich korzystać bez ostrzeżenia. :>
Funkcje dające się zapisać w postaci sumy funkcji okresowych charakteryzuje poniższe twierdzenie:
Twierdzenie. Załóżmy, że \(\displaystyle{ t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}}\) są parami liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), i niech \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) daje się zapisać w postaci sumy \(\displaystyle{ f_1 + \ldots + f_n}\), gdzie \(\displaystyle{ f_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) ma okres \(\displaystyle{ t_i}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \Delta_{t_1} \ldots \Delta_{t_n} f \equiv 0}\).
Łatwo stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x) := x^n}\) jest sumą \(\displaystyle{ n+1}\) funkcji okresowych, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ t_1, \ldots, t_{n+1} \in \mathbb{R}}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta_{t_1} \ldots \Delta_{t_{n+1}} f \equiv 0}\). Szukany rozkład istnieje więc nawet przy z góry zadanych okresach, byleby były to liczby parami niewspółmierne. Taka niewspółmierność jest zresztą także warunkiem koniecznym, bo suma dwóch funkcji o współmiernych okresach nadal jest okresowa i wobec tego wystarczyłoby zsumować \(\displaystyle{ n}\) funkcji okresowych, wbrew temu co wykazał mol. W ogóle wszystkie wielomiany stopnia najwyżej \(\displaystyle{ n}\) będą sumami \(\displaystyle{ n+1}\) funkcji okresowych.
Najpierw wykażę lemat: niech \(\displaystyle{ t, s \in \mathbb{R}}\) będą niewspółmierne i niech \(\displaystyle{ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) będzie funkcją o okresie \(\displaystyle{ s}\). Wtedy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) o okresie \(\displaystyle{ s}\), taka że \(\displaystyle{ g = \Delta_t f}\).
Istotnie, niech \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}}\) będzie selektorem warstw podgrupy \(\displaystyle{ t \ZZ}\) w \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, +)}\), takim że \(\displaystyle{ s+X = X}\). Wtedy warunki: \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in X}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta_t f = g}\) - jednoznacznie definiują \(\displaystyle{ f}\) na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Częściowe wyjaśnienie:
Z grubsza można powiedzieć, że \(\displaystyle{ f}\) jest dana wzorem
\(\displaystyle{ f(x+nt) = \sum_{k=1}^n g(x+kt)}\) dla \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\),
tylko ową sumę trzeba odpowiednio zinterpretować gdy \(\displaystyle{ n \le 0}\). Taka definicja jest zaś poprawna, bo każda liczba rzeczywista zapisuje się jednoznacznie w postaci \(\displaystyle{ x+nt}\), co wynika wprost z faktu, że \(\displaystyle{ X}\) jest odpowiednim selektorem.
Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ s}\) jest okresem \(\displaystyle{ f}\). Ponieważ \(\displaystyle{ s}\) jest okresem \(\displaystyle{ g}\), mamy
\(\displaystyle{ \Delta_t \Delta_s f = \Delta_s \Delta_t f = \Delta_s g = 0}\).
Zatem \(\displaystyle{ \Delta_s f}\) ma okres \(\displaystyle{ t}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ (\Delta_s f)(x) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in X}\), gdyż \(\displaystyle{ s+X = X}\). Oczywiście funkcja o okresie \(\displaystyle{ t}\) zerująca się na \(\displaystyle{ X}\) musi być zerowa, stąd \(\displaystyle{ \Delta_s f \equiv 0}\), co należało wykazać. \(\displaystyle{ \blacksquare}\)
Dowód twierdzenia: implikacja w prawo to proste rachunki z użyciem wymienionych na początku własności. Drugiej implikacji dowiedziemy przez indukcję względem \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) teza jest oczywista (przy odrobinie wyobraźni można nawet zacząć od \(\displaystyle{ n = 0}\)). Ustalmy \(\displaystyle{ n \ge 1}\), załóżmy, że teza jest spełniona dla \(\displaystyle{ n}\), i ustalmy \(\displaystyle{ t_1, \ldots, t_n, t \in \mathbb{R}}\) parami niewspółmierne, oraz funkcję \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniającą
\(\displaystyle{ \Delta_{t_1} \ldots \Delta_{t_n} \Delta_t f \equiv 0}\).
Z założenia indukcyjnego możemy zapisać \(\displaystyle{ \Delta_t f = g_1 + \ldots + g_n}\), gdzie \(\displaystyle{ g_i}\) ma okres \(\displaystyle{ t_i}\). Na mocy lematu mamy \(\displaystyle{ g_i = \Delta_t f_i}\) dla pewnych \(\displaystyle{ f_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ f_i}\) ma okres \(\displaystyle{ t_i}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \Delta_t \left( f - \sum_{i=1}^n f_i \right) = \Delta_t f - \sum_{i=1}^n g_i = 0}\),
czyli \(\displaystyle{ f - \sum_{i=1}^n f_i}\) ma okres \(\displaystyle{ t}\). To kończy dowód.
Dygresja:
Powyższe rozumowanie tak mocno przypomina klasyczne dowody z algebry, że aż trudno nie odnieść wrażenia, iż powinno ono być przejawem jakiegoś abstrakcyjnego faktu. I faktycznie, wersja abstrakcyjna istnieje:
Twierdzenie*. Załóżmy, że \(\displaystyle{ G}\) jest grupą przemienną i \(\displaystyle{ \varphi_1, \ldots, \varphi_n : G \to G}\) są homomorfizmami, takimi że \(\displaystyle{ \varphi_i[ \ker \varphi_j ] = \ker \varphi_j}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\). Wtedy
Poprzednie twierdzenie jest szczególnym przypadkiem, gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest grupą wszystkich funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) z dodawaniem, a \(\displaystyle{ \varphi_i = \Delta_{t_i}}\). Wtedy lemat gwarantuje zawieranie \(\displaystyle{ \ker \varphi_j \subseteq \varphi_i[ \ker \varphi_j ]}\), a zawieranie odwrotne wynika z przemienności tych homomorfizmów.
W ogóle trochę przypomina to Chińskie twierdzenie o resztach, ale na dziś wystarczy mi już matematyki... :]