Sześciany
: 8 mar 2024, o 20:08
Udowodnić, że nie istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\) taka, że \(\displaystyle{ k+4}\) i \(\displaystyle{ k^2+5k+2}\) są sześcianami liczb całkowitych.
Gdy \(\displaystyle{ k+4=a^3 \ \ , \ a \in \NN \setminus \{0,1\} }\) to
\(\displaystyle{ k^2+5k+2=(a^3-4)^2+5(a^3-4)+2=a^6-3a^3-2=(a^2- \frac{1}{a})^3-5+ \frac{1}{a^3} }\)
Gdyby \(\displaystyle{ k^2+5k+2=b^3 }\) to
\(\displaystyle{ (a^2-2)^3 \le b^3<(a^2)^3 }\)
jednak żadne z równań:
\(\displaystyle{ a^6-3a^3-2=(a^2-2)^3 \ \ , \ \ a^6-3a^3-2=(a^2-1)^3}\)
nie ma naturalnych rozwiązań.