Matematyka.pl

1. Na tablicy jest narysowanych 2010 kropek. Dwóch uczniów na przemian rysuje odcinki łączące kropki w taki sposób aby nie utworzyć krzywej zamkniętej z dotychczas narysowanymi . Przegra ten uczeń który nie będzie mógł narysować odcinka. Który uczeń ma strategie wygrywająca i jaka to strategia?
2.Dwóch graczy poczynając od liczby 0 na przemian dodaje liczbę 1 lub 2 . Wygra ten gracz, który jako pierwszy otrzyma liczbę 20. Dla którego gracza istnieje strategia wygrywająca i jaka jest to strategia?

Wsk. Gracz, który napisze liczbę `17` wygrywa. Jak wymyślisz dlaczego, to łatwo znajdziesz strategię

Ad 2.
Nie bardzo wiadomo czy:
a) każdy z graczy ma własną sumą
b) suma jest wspólna i do niej naprzemian dodają 1 lub 2
W obu przypadkach wygra gracz pierwszy zaczynając od liczby 2.

Ad 1
Wygra pierwszy gracz po 2009 ruchach bez żadnej strategii.

kerajs pisze: ↑8 mar 2024, o 12:44 Ad 2.
Nie bardzo wiadomo czy:
a) każdy z graczy ma własną sumą
b) suma jest wspólna i do niej naprzemian dodają 1 lub 2
W obu przypadkach wygra gracz pierwszy zaczynając od liczby 2

A nie uważasz, że gra w przypadku a) byłaby wyjątkowo debilna?

Wędka jest często lepsza od ryby

a4karo pisze: ↑8 mar 2024, o 14:32 A nie uważasz, że gra w przypadku a) byłaby wyjątkowo debilna?

To nie ma znaczenia, gdyż rolą autora jest tak pisać, aby treść była jednoznaczna, a nie obarczać rozwiązującego domyślaniem się co autor chciał napisać, lecz mu nie wyszło.

Nb, gra z przypadku a) nie jest gorsza od ''gry'' z zadania nr 1.

a4karo pisze: ↑8 mar 2024, o 14:32
Wędka jest często lepsza od ryby

Różnie bywa. Akurat tu ani ryby nie dałem, ani wędki nie ruszałem.

kerajs pisze: ↑8 mar 2024, o 12:44 Ad 1
Wygra pierwszy gracz po 2009 ruchach bez żadnej strategii.

A mógłbyś to wyjaśnić? Bo mam wrażenie, że nie chodzi tu o zamkniętość krzywej powstałej ze wszystkich narysowanych odcinków, tylko o powstanie jakiejkolwiek krzywej zamkniętej.

JK

Jeśli żaden z graczy nie popełni błędu (czyli w pewnym ruchu narysuje odcinek domykający jakąś pętlę) to po 2009 ruchach powstanie drzewo (spójny prosty graf acykliczny) o 2010 wierzchołkach i 2009 krawędziach. Zachowanie acykliczności w 2010-tym ruchu wymaga połączenia drzewa z nowym nieistniejącym 2011-tym wierzchołkiem, więc dodatkowa krawędź (1005-ty ruch gracza drugiego) doprowadzi do powstania w grafie cyklu.

Ot mądra gra: każdy gracz wykonuje ponad 1000 ruchów (co w realu nie jest łatwe) aby się przekonać że drugi gracz przegra, niezależnie od narysowanych przez obu graczy kresek.

Zakładasz, że pętle powstają ("grafowo") poprzez łączenie wierzchołków (jako cykle w grafie), a mogą też powstawać ("geometrycznie") w wyniku przecięcia się krawędzi. Z Twojego rozumowania wynika, że wykonując ruch trzeba uważać tylko, by nie domykać pętli, natomiast nie jest dla mnie jasne, czy pomimo takiej uważności nie znajdę się (wcześniej) w sytuacji, gdzie każdy kolejny potencjalny ruch prowadzi do przecięcia z jakąś istniejąca już krawędzią.

JK

Istotnie, założyłem że pętle powstają "grafowo". I niestety, nawet nie pomyślałem o innej interpretacji treści zadania. A powinienem pomyśleć!

Wersja ''geometryczna'' jest ciekawszą i bardziej złożoną grą, a na wynik istotnie wpłynie rozmieszczenie punktów i definicja pętli gdy punkty będą współliniowe.