Matematyka.pl

Wyznaczyć największe możliwe \(\displaystyle{ n}\) takie, że istnieją liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1,....,p_n}\) (niekoniecznie różne) takie, że \(\displaystyle{ p_1, p_1+p_2, p_1+p_2+p_3, ...., p_1+p_2+....+p_n}\) też są pierwsze.

Jak przymrużę oko, to mam taki ciąg
`3,-5,5,-5,5,...`

Jeśli mówimy tylko o dodatnich to mój tok rozumowania jest taki:
- jeśli suma \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) ma być liczbą pierwszą, to jedna z nich, powiedzmy \(\displaystyle{ p_1}\) musi być równa \(\displaystyle{ 2}\), bo suma dwóch nieparzystych nie da pierwszej
- zakładamy więc \(\displaystyle{ p_1 = 2}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) nieparzysta pierwsza
- skoro ich suma jest liczbą pierwszą, tzn. \(\displaystyle{ p_2 + 2}\) jest liczbą pierwszą, to znaczy, że \(\displaystyle{ p_2}\) należy do pary liczb bliźniaczych (pierwszych oddalonych o 2)
- skoro suma \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) oraz \(\displaystyle{ p_3}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p_3}\) nie może być nieparzysta, bo suma wyjdzie parzysta, ale skoro \(\displaystyle{ p_3}\) musi być liczbą pierwszą, to znaczy, że \(\displaystyle{ p_3 = 2}\) ale to też oznacza, że \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) i \(\displaystyle{ p_1 + p_2 + p_3}\) są liczbami bliźniaczymi, czyli \(\displaystyle{ p_2 + 2}\) oraz \(\displaystyle{ p_2 + 4}\) ale to by sugerowało, że istnieje seria trzech liczb pierwszych oddalonych od siebie co \(\displaystyle{ 2}\) a to jest niemożliwe, bo dla trzech kolejnych nieparzystych liczb przynajmniej jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)
- wniosek: maksymalne \(\displaystyle{ n = 2}\)

Podbiję o 1 :
\(\displaystyle{ 3 \ , \ 3+2 \ , \ 3+2+2 \\
2 \ , \ 2+3 \ , \ 2+3+2}\)

No dobra, mój główny argument o podzielności przez 3 w tej jednej sytuacji ma sens, masz słusznego w tym, ale wyżej nie podbijesz już zgodnie z tym co napisałem