Matematyka.pl

Liczba urocza jest w formie \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{m} }\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą naturalną. Wykazać, że dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n \ge 2 }\) jest iloczynem \(\displaystyle{ k}\) różnych liczb uroczych, gdy \(\displaystyle{ k \ge n-1}\) .

\(\displaystyle{
1 + \frac{1}{m} = \frac{m+1}{m}\\
\\
\prod_{i=1}^{n-1} \frac{i+1}{i} = n
}\)

dla przykładu
\(\displaystyle{
n = 5 = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}\\
k = 4 \ge n-1\\
}\)

A jak przedstawić \(\displaystyle{ n=5}\) jako iloczyn siedmiu liczb uroczych ?

Gouranga pisze: 4 mar 2024, o 00:01 \(\displaystyle{
\prod_{i=1}^{n-1} \frac{i+1}{i} = n
}\)

Sprytne, bo dla \(\displaystyle{ k=n-1}\)

mol_ksiazkowy pisze: 11 sie 2024, o 20:08 A jak przedstawić \(\displaystyle{ n=5}\) jako iloczyn siedmiu liczb uroczych ?

dla przykładu
\(\displaystyle{
5 = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}=\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{15}{14}=\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{25}{24}=\\=
\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{25}{24}=
\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}\cdot \frac{19}{18}\cdot \frac{20}{19}=...

}\)