Trójka
: 3 mar 2024, o 16:45
rozwiązać rownanie \(\displaystyle{ \cos(z)= 3}\).
\(\displaystyle{ \cos(a+ib)= 3 \ \ , \ b \neq 0\\
\cos a \cos ib - \sin a \sin ib =3 \\
\cos a \cosh b - \sin a (i\sinh b) =3 \\
\begin{cases} \cos a \cosh b=3 \\ \sin a \sinh b=0 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ a=k2 \pi }\) więc pozostaje rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{e^b+e^{-b}}{2}=3 }\), a stąd dwie rodziny rozwiązań:
\(\displaystyle{
z_1=k2 \pi +i\ln (3-2 \sqrt{2}) \ \ \vee \ \ z_2=k2 \pi +i\ln (3+2 \sqrt{2}}\))