Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Niech \(\displaystyle{ \angle ACN=2\alpha }\), środek AB to punkt 0, zaś przecięcie PQ z ON będzie punktem R.
Odcinek ON jest prostopadły do CN więc \(\displaystyle{ \angle C0N=90^0-2\alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \angle CRN=2\alpha }\). Trójkąt AON jest równoramienny (bo dwa boki są promieniami półokręgu. więc \(\displaystyle{ \angle 0AN= \angle ONA=45^0-\alpha }\), a stąd \(\displaystyle{ \angle RPN=45^0 }\). Ponadto \(\displaystyle{ \angle RNQ=45^0+\alpha }\) więc i \(\displaystyle{ \angle RQN=45^0 }\). Trójkąt NPQ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.
24?:
Niech planszą będzie szachownica, przy czym dla nieparzystych n niech w rogach będą pola białe . Ruch wieży to przejście na pole o innej barwie.
Na szachownicach o parzystym n obejście szachownicy (pole startu to pole mety) zawsze jest możliwe, a przejście między wybranymi polami tylko gdy mają przeciwną barwę.
Na szachownicach o nieparzystym n obejście szachownicy nie jest możliwe, a przejście między wybranymi polami tylko gdy mają barwę białą.
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 10 mar 2024, o 23:08
autor: arek1357
Zadanie 7:
mamy wykazać, że równanie zachodzi wtedy gdy \(\displaystyle{ n}\) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych bliźniaczych:
\(\displaystyle{ p_{2}-p_{1}=2}\) bo \(\displaystyle{ p_{2} > p_{1}}\)
więc liczby te są bliźniacze...
cnd...
w drugą stronę jest trywialne...
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 16 mar 2024, o 13:20
autor: mol_ksiazkowy
14
Ukryta treść:
przy założeniu ciągłości - jedynie funkcje liniowe; zrodło T. Andreescu - functional equations (Problem 100)
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 31 mar 2024, o 10:33
autor: Premislav
Ad. 14 Przecież od razu widać, że jeśli założenia ciągłości nie ma, to każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy'ego obcięte do rzeczywistych dodatnich działa; trudniej wykazać, że nie ma żadnych innych (i nawet nie wiem, czemu to prawda, dlategom nie pisał). Bardzo nieładnie dodawać w uwagach lub wskazówkach niewyłożone wcześniej założenia (vide ciągłość). Foch.
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 31 mar 2024, o 12:35
autor: a4karo
Jasne, że są . Wystarczy dodać stałą. Pytanie czy to już wszystko
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 31 mar 2024, o 15:01
autor: mol_ksiazkowy
14 cd
Ukryta treść:
Bardzo nieładnie dodawać w uwagach lub wskazówkach niewyłożone wcześniej założenia (vide ciągłość). Foch.
Treść zadania nie zmieniła się. arek1357:
..., jak zmienią się warunki zadania to wtedy można i zmieniać odpowiedzi...
Zwykle odpowiadający zużywa jak najmniej energii na odpowiedź, ale tak aby odpowiedź zmieściła się w strukturach zadania...
12 cd
Ukryta treść:
A gdy \(\displaystyle{ n=4 ?}\) czy to będzie \(\displaystyle{ 2F_{n+1}}\)
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 31 mar 2024, o 15:11
autor: arek1357
Treść zadania nie zmieniła się.
arek1357:
Bardzo przepraszam ale z zadaniem 14-stym nie miałem i nie mam nic wspólnego...
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 5 kwie 2024, o 08:16
autor: Hir
Zadanie 4:
Ukryta treść:
Paul Bankston, Ralph Fox - Topological Partitions of Euclidean Space by Spheres. The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 6 (Jun. - Jul., 1985), strony 423-424. (wystarczy położyć tam n = 1).
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 5 kwie 2024, o 10:47
autor: Dasio11
W odnośnym artykule nie rozwiązuje się zadania czwartego, bo on nie jest o rozkładzie przestrzeni na okręgi, tylko na ich homeomorficzne kopie.
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 5 kwie 2024, o 19:24
autor: Jakub Gurak
Wystarczy zauważyć, że przestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{3} \setminus \left\{\left( 0,0,0\right) \right\} }\) jest sumą sfer \(\displaystyle{ S_r}\), gdzie \(\displaystyle{ r \in \RR _{+} }\), o środku w początku układu i o promieniu \(\displaystyle{ r}\); a każdą taką sferę \(\displaystyle{ S_r}\) można rozłożyć na okręgi leżące w płaszczyznach prostopadłych do osi \(\displaystyle{ z}\) (wliczając w to dwa okręgi o promieniu równym zero, aby pokryć po jednym wierzchołku takiej sfery). Pozostaje zatem to wysumować po \(\displaystyle{ \left( r,a\right) \in \left(\RR _{+} \times \left[ 0,r\right] \right)}\) otrzymując rozkład \(\displaystyle{ \RR ^{3} \setminus \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}}\) na okręgi, i pozostaje dodać tutaj okrąg o środku w początku układu i o promieniu zero \(\displaystyle{ .\square}\)
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 5 kwie 2024, o 19:51
autor: Dasio11
Okrąg o promieniu zero to nie okrąg, tylko punkt (formalnie: singleton punktu).
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 5 kwie 2024, o 20:29
autor: Jakub Gurak
Ano racja, bo idąc tą drogą to moglibyśmy wysumować przestrzeń trójwymiarową podzbiorami jednopunktowymi...
Re: [MIX] Mix na bezsenność
: 5 kwie 2024, o 20:43
autor: Hir
Dasio11 pisze: ↑5 kwie 2024, o 10:47
W odnośnym artykule nie rozwiązuje się zadania czwartego, bo on nie jest o rozkładzie przestrzeni na okręgi, tylko na ich homeomorficzne kopie.
Masz rację, powinnam zamiast tego napisać, że rozwiązanie zadania 4 jest w
Ukryta treść:
Szulkin, Andrzej. \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) is the union of disjoint circles. Amer. Math. Monthly 90 (1983), no. 9, 640–641.