Matematyka.pl

1. Jak podzielić sześcian na sześć przystających czworościanów ?
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \tg(72^\circ) = \tg(66^\circ) + \tg(36^\circ)+ \tg(6^\circ).}\)
3. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+ y^2=2 \\ \frac{x^2}{2-y}+ \frac{y^2}{2-x}=2. \end{cases}}\)
Nowa Zelandia
4. Czy trójwymiarowa przestrzeń jest sumą rozłącznych okręgów ?
5. W pola szachownicy \(\displaystyle{ n \times n }\) wpisane są liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n^2 }\) tak, że liczby z dowolnych pól o wspólnym boku różnią się o co najwyżej \(\displaystyle{ n }\).
Udowodnić, że istnieje czteropolowy kwadrat o równych sumach liczb z pól obu jego przekątnych.
6. Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ }\) taka, że \(\displaystyle{ f ( f(x) )=x+1 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \ZZ }\) ?
Uwagi:
\(\displaystyle{ \ZZ }\) to zbiór liczb całkowitych.
Norwegia
7. Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ \phi(n) \sigma(n)= (n-3)(n+1)}\) jest równoważe temu, że \(\displaystyle{ n }\) jest iloczynem bliźniaczych liczb pierwszych.
Uwagi: \(\displaystyle{ \sigma(n) = \sum_{d |n} d }\) i \(\displaystyle{ \phi(n) }\) to funkcja Eulera.
8. Autobus ma dwanaście przystanków i jest w nim dwadzieścia miejsc. Ilu co najwyżej pasażerów może przewieźć autobus, jeśli żadnych dwóch z nich nie wsiada i wysiada jednocześnie ?
9. W rombie o kącie ostrym \(\displaystyle{ 60^\circ }\) każdy bok podzielono na \(\displaystyle{ 9}\) równych części. Przez punkty podziału narysowano trzy rodzaje prostych: te równoległe do jednego z boków i do drugiego i te równoległe do krótszej przekątnej.
W ten sposób powstała romboidalna szachownica o trójkątnych polach. Jaka jest najmniejsza liczba hetmanów, które można ustawić tak, aby biły każde pole szachownicy ?
10. lemat o grupie
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ Z(G) }\) jest centrum grupy \(\displaystyle{ G }\), zaś \(\displaystyle{ H }\) jej podgrupą, to \(\displaystyle{ |H/Z(H)| \le |G/Z(G)| }\).
Wykazać też, że jeśli grupa \(\displaystyle{ G/Z(G) }\) jest skończona, to równość jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ G=H Z(G) }\).

11. Kiedy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=D(x)+D(ax) }\) jest okresową, jesli \(\displaystyle{ a }\) jest liczbą rzeczywistą, i \(\displaystyle{ D}\) jest funkcją Dirichleta ?

12. Ile jest \(\displaystyle{ n }\) literowych słów binarnych, w których nie ma 3-bloków (tj. trzech jedynek bądź trzech zer "pod rząd") ?
13. Czy wielomiany \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ W'}\) mogą mieć wspólny pierwiastek, jeśli \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych ?
14. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \frac{1}{x})+ f(y+ \frac{1}{y}) = f(x+ \frac{1}{y})+ f(y+ \frac{1}{x})}\)
dla \(\displaystyle{ x,y >0. }\)
Uwagi: \(\displaystyle{ f }\) jest określone na \(\displaystyle{ (0, \infty). }\)
Rosja
15. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= (1+y^{\prime})x+ (y^{\prime})^2 \\ y(2)=2. \end{cases}}\)
16. Na płaszczyźnie jest figura \(\displaystyle{ F }\), o tej własności:

Istnieje punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że dowolna prosta \(\displaystyle{ l }\), do której należy \(\displaystyle{ X }\) dzieli \(\displaystyle{ F }\) na dwie części o równych polach i obwodach.

Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ F }\) ma środek symetrii ?

17. Niech \(\displaystyle{ k}\) bedzie okręgiem i \(\displaystyle{ AB}\) jego średnicą . Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na przedłużeniu \(\displaystyle{ AB }\) a także \(\displaystyle{ CN }\) jest styczną do okręgu. Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACN }\) ma punkty wspólne z \(\displaystyle{ AN }\) i \(\displaystyle{ BN}\) tj. \(\displaystyle{ P }\) i \(\displaystyle{ Q }\). Wykazać, że trójkąt \(\displaystyle{ PQN }\) jest równoramienny.
Norwegia
18. \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją określoną na odcinku \(\displaystyle{ [0,1] }\) i o wartościach dodatnich, oraz \(\displaystyle{ f(x)f(1-x)=1 }\) gdy \(\displaystyle{ x \in [0,1] }\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) dx \ge 1.}\)

19. Problem pchły
W chwili \(\displaystyle{ t=0 }\) pchła jest w punkcie \(\displaystyle{ x=0 }\) i co każdą minutę może podjąć jedną z trzech decyzji: zostać na miejscu lub przeskoczyć o odcinek jednostkowy w prawo bądź w lewo, jednakże po \(\displaystyle{ p-1 }\) minutach ma wrócić do początku, tj. do zera (\(\displaystyle{ p }\) jest liczbą pierwszą). Wyznaczyć ilość wszystkich strategii \(\displaystyle{ f(p) }\) modulo \(\displaystyle{ p }\), które realizują ten cel.

20. Dany jest zbiór prostych na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie mają punktu wspólnego (nie są współpękowe). Graf zadany przez te proste to taki, w którym wierzchołki to punkty przecięcia, krawędzie łączą dwa sąsiednie wierzchołki na jednej prostej). Udowodnić, że tak zadany graf planarny jest 3–kolorowalny.
21. Wykazać, że jeśli cztery różne punkty są współliniowe, to istnieje kwadrat taki, że dwa z tych punktów są na dwóch nierównoległych bokach tego kwadratu, a pozostałe dwa punkty są na przedłużeniach dwóch innych boków kwadratu.
22. Wylosowano trzy liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,2] }\), Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między największą a najmniejszą z nich jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\) ?
23. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{8^x-2^x}{6^x - 3^x}= 2.}\)
24. Kiedy jest możliwym narysować łamaną o początku i końcu w środkach dwóch różnych pól kwadratowej planszy, w taki sposób, aby przecinała ona każde jej pole tylko raz ?
25. Wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y, z}\) z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-yz=1 \\ y-xz=5 \\ z-xy=1. \end{cases}}\)
26. Udowodnić, że dowolna prosta różna od osi układu współrzędnych przecina co najmniej dwie, ale co najwyżej trzy jego ćwiartki.
27. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest na boku \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ AD=2}\) i \(\displaystyle{ DB=1}\), kąty \(\displaystyle{ CBA}\) i \(\displaystyle{ CDA}\) są równe \(\displaystyle{ 45^\circ}\) i \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Wyznazyć kąt \(\displaystyle{ CAB}\).
28. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2}+...+ \frac{1}{x-2024} }\) i \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}+...+ \frac{1}{x-2023} }\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ |f(x)- g(x)| >2 }\) gdy \(\displaystyle{ 0 < x < 2024}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą całkowitą.
29. Wskazać geometryczną interpretację tożsamości
\(\displaystyle{ (ma+nb)(na+mb)= (m+n)^2 ab+ mn(a-b)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n }\) są liczbami naturalnymi.
30. Ruchome schody podnoszą z dołu do góry stojącego człowieka w czasie \(\displaystyle{ t=1}\) minuty. Gdy schody są nieruchome człowiek wchodzi po nich w czasie \(\displaystyle{ t= 3}\) minuty. Ile czasu potrzebuje by wejść on po ruchomych schodach ?

Dodano po 37 minutach 40 sekundach: Dodano po 4 minutach 47 sekundach: Dodano po 5 minutach 43 sekundach: Dodano po 17 minutach 39 sekundach: Dodano po 14 minutach 3 sekundach:

Problem pchły:

Otóż liczenie tego, że po \(\displaystyle{ n}\) minutach pchła dojdzie do punktu zero naprowadziło mnie na równanie...

niech ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) zlicza nam, że po \(\displaystyle{ n}\) minutach pchła będzie w punkcie zero!!!

łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ a_{1}=1}\) wystarczy, że tam postoi minutę...

\(\displaystyle{ a_{2}=3}\) - skoczy w lewo, wróci, w prawo potem wróci albo dwie minuty postoi w zerze...

z trudem wyliczyłem, że:

\(\displaystyle{ a_{3}=7}\)

potem się zniechęciłem do liczenia i zauważyłem, że można ułożyć równanie np.: dla \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 5}\) minut:

np.:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 , x_{i}=0 \vee \pm 1}\)

a ogólnie oczywiście:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=0 , x_{i}=0 \vee \pm 1}\)

I wszystko by było fajne bo pchła sobie skacze w lewo to dostaje \(\displaystyle{ -1}\) w prawo to \(\displaystyle{ 1}\) a nie skacze to \(\displaystyle{ 0}\)

Ale skoro nie umiem takiego równania rozwiązać bo występują minus jedynki więc do obu stron dodamy \(\displaystyle{ n}\) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \left( x_{1}+1\right) +\left( x_{2}+1\right) +\left( x_{3}+1\right) +...+\left( x_{n}+1\right) =n , x_{i}=0 \vee \pm 1}\)

teraz podstawiam:

\(\displaystyle{ x_{i}:=x_{1}+1 }\)

i otrzymuję:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=n , x_{i}=0,1,2 }\)

to równanie można rozwiązać stosując wielomiany charakterystyczne, a rozwiązaniem będzie współczynnik przy: \(\displaystyle{ x^n}\)

tym wielomianem jest:

\(\displaystyle{ \left( 1+x+x^2 \right)^n }\)

wyszło mi , że rozwiązaniem jest funkcja hipergeometryczna oraz, że:

\(\displaystyle{ a_{n} =_{2}F_{1} \left( \frac{1-n}{2} , -\frac{n}{2} ;1;4 \right)= \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{\left( \frac{1-n}{2} \right)_{i} \left( -\frac{n}{2} \right)_{i} }{\left( 1\right)_{i}} \cdot \frac{4^n}{i!} }\)

\(\displaystyle{ (x)_{n}=x(x+1)(x+2)...(x+n-1) , n>1 ; (x)_{0}=1}\)

może i źle to wygląda, ale po uproszczeniu i wyliczeniu otrzymamy ładny wzór:

\(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{i=0}^{ \infty } {2i \choose i} {n \choose 2i} }\)

kilka pierwszych łatwo wyliczyć:

\(\displaystyle{ a_{1}=1 , a_{2}=3, a_{3}=7, a_{4}=19, a_{5}=51, a_{6}=141,...}\)

oczywiście widać, że:

\(\displaystyle{ a_{p} \mod p =1}\)

ale to raczej jest chyba najmniej istotne...

23.

zad. 15

\(\displaystyle{ y=x+xy'+y'^2}\)

zróżniczkujmy to stronami:

\(\displaystyle{ y'=1+y'+xy''+2y'y''}\)

lub:

\(\displaystyle{ 2y'y''+xy''+1=0}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ y'=p}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2pp'+xp'+1=0}\)

I to rozwiązuje się z funkcją Lamberta:

\(\displaystyle{ p=y'=W(Ce^{ \frac{x}{2} })- \frac{1}{2}x+1 }\)

z tego:

\(\displaystyle{ y= \int_{}^{} W(Ce^{ \frac{x}{2} })dx - \frac{1}{4} x^2+x+C_{1}}\)

zostanie do policzenia:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} W(Ce^{ \frac{x}{2} })dx }\)

podstawienie:

\(\displaystyle{ Ce^{ \frac{x}{2} }=t}\)

\(\displaystyle{ dx=2 \frac{dt}{t} }\)

co da nam:

\(\displaystyle{ 2 \int_{}^{} \frac{W(t)}{t} dt=W^2(t)+2W(t)=W^2(Ce^{ \frac{x}{2} })+2W(Ce^{ \frac{x}{2} })}\)

reasumując otrzymamy:

\(\displaystyle{ y=W^2(Ce^{ \frac{x}{2} }) +2W(Ce^{ \frac{x}{2} }) - \frac{1}{4} x^2+x+C_{1}}\)

\(\displaystyle{ y'=W(Ce^{ \frac{x}{2} }) - \frac{1}{2} x+1}\)

jeżeli teraz podstawimy to tu:

\(\displaystyle{ y=x+xy'+y'^2}\)

to wszystko się ładnie skraca i zostanie tylko, że:

\(\displaystyle{ C_{1}=0 }\) - i bardzo dobrze

więc naszym rozwiązaniem będzie:

\(\displaystyle{ y=W^2(Ce^{ \frac{x}{2} }) +2W(Ce^{ \frac{x}{2} }) - \frac{1}{4} x^2+x}\)

biorąc pod uwagę warunek zadania, że:

\(\displaystyle{ y(2)=2}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ W^2(Ce)+2W(Ce)-1=0}\)

rozwiązując otrzymamy, .ze:

\(\displaystyle{ W(Ce)= \sqrt{2} -1}\)

z tego:

\(\displaystyle{ Ce=\left( \sqrt{2} -1\right) e^{ \sqrt{2}-1 }}\)

lub:

\(\displaystyle{ C=\left( \sqrt{2} -1\right) e^{ \sqrt{2}-2 }}\)

a nasza funkcja to:

\(\displaystyle{ y=W^2\left( Ce^{ \frac{x}{2} }\right) +2W\left( Ce^{ \frac{x}{2} }\right) - \frac{1}{4} x^2+x}\)

lub:

\(\displaystyle{ y=\left[ W\left( Ce^{ \frac{x}{2} }\right) +1 \right]^2 - \frac{1}{4} x^2+x -1}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ C=\left( \sqrt{2} -1\right) e^{ \sqrt{2}-2 }}\)


zad. 10

Niech:

\(\displaystyle{ |H|=h , |G|=n , |Z(G) \cap H|=r , |Z(G)|=rk}\)

Można łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ Z(G) \cap H \subset Z(H)}\)

\(\displaystyle{ |G/Z(G)|= \frac{n}{rk} }\)

w związku z tym:

\(\displaystyle{ |H/Z(H)| \le |H/(Z(G) \cap H)|= \frac{h}{r} }\)

Więc wystarczy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \frac{h}{r} \le \frac{n}{rk} }\)

lub:
\(\displaystyle{ h \le \frac{n}{k} }\)

oczywiście:

\(\displaystyle{ k|n}\)

w związku z tym można założyć, że istnieje jakaś podgrupa: \(\displaystyle{ S \subset G}\)

taka, że:

\(\displaystyle{ S \cap H =\left\{ e\right\} \wedge |S|=k }\)

Oczywiście:

\(\displaystyle{ h \cdot k \le n}\)

równość zajdzie np. wtedy gdy iloczyn prosty lub pół prosty tych grup da całą \(\displaystyle{ G}\) ale tak być nie musi, ale zachodzi, że:

\(\displaystyle{ h \cdot k \le n}\)

cnd...

Dodano po 17 godzinach 9 minutach 52 sekundach:
zadanie 16 , może być taka figura której każda prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ X }\) dzieli na figury o równych polach i obwodach (nikt nie powiedział, że muszą być skończone ale ta figura nie ma środka symetrii...

Dodano po 31 sekundach:
figura nieskończona...

Dodano po 10 minutach 40 sekundach:
W dziewiątym zadaniu wyszło mi, że jest \(\displaystyle{ 162}\) pola a minimalna ilość hetmanów to \(\displaystyle{ 9}\)

Dodano po 18 godzinach 25 minutach 31 sekundach:
W zadaniu dwudziestym w zasadzie nie ma co dowodzić bo ten graf składa się z wielokątów i różnej ilości krawędzi bez przekątnych a każdy wierzchołek ma stopień co najwyżej cztery więc jest to graf jak najbardziej planarny do którego wystarczy trzy kolory, żeby pokolorować wierzchołki tak aby żadne dwa połączone krawędzią nie miały tego samego koloru (tw.)...

Zwykle nie czytam, ale że nie ukryłeś rozwiązań w kodach ''hide'' to rzuciłem okiem na co krótsze wyjaśnienia. I mam pewne zastrzeżenia.

arek1357 pisze: ↑29 lut 2024, o 08:36 zadanie 16 , może być taka figura której każda prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ X }\) dzieli na figury o równych polach i obwodach (nikt nie powiedział, że muszą być skończone ale ta figura nie ma środka symetrii...

Jednak w przykładzie z załącznika wystarczy złożyć figurę względem linii pionowej aby zobaczyć iż pola nie są równe.

arek1357 pisze: ↑29 lut 2024, o 08:36 W dziewiątym zadaniu wyszło mi, że jest \(\displaystyle{ 162}\) pola a minimalna ilość hetmanów to \(\displaystyle{ 9}\)

Dlaczego minimalna ilość hetmanów to 9?
Z ciekawości postanowiłem obstawić taką planszę, i pierwsza (i jedyna) moja próba dała mi 7 hetmanów.
I raczej nie jest to minimum.

arek1357 pisze: ↑29 lut 2024, o 08:36 W zadaniu dwudziestym w zasadzie nie ma co dowodzić bo ten graf składa się z wielokątów i różnej ilości krawędzi bez przekątnych a każdy wierzchołek ma stopień co najwyżej cztery więc jest to graf jak najbardziej planarny do którego wystarczy trzy kolory, żeby pokolorować wierzchołki tak aby żadne dwa połączone krawędzią nie miały tego samego koloru (tw.)...

\(\displaystyle{ K_4}\) jest planarny i '' każdy wierzchołek ma stopień co najwyżej cztery'', a mimo nie jest to graf do którego wystarczą trzy kolory.

kerajs pisze: ↑2 mar 2024, o 14:14 Zwykle nie czytam, ale że nie ukryłeś rozwiązań w kodach ''hide'' to rzuciłem okiem na co krótsze wyjaśnienia. I mam pewne zastrzeżenia.

arek1357 pisze: ↑29 lut 2024, o 08:36 zadanie 16 , może być taka figura której każda prosta przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ X }\) dzieli na figury o równych polach i obwodach (nikt nie powiedział, że muszą być skończone ale ta figura nie ma środka symetrii...

Jednak w przykładzie z załącznika wystarczy złożyć figurę względem linii pionowej aby zobaczyć iż pola nie są równe.

Są równe, bo są nieskończone. Ale arek1357 zapomniał czym jest figura w geometrii.

@mol_ksiazkowy
Tak z ciekawości - dziękujesz za posty, czy za ich zawartość. Pytam, bo widzę, że czasem dziękujesz za totalne bzdury.

ale że nie ukryłeś rozwiązań w kodach ''hide'' to rzuciłem okiem na co krótsze wyjaśnienia. I mam pewne zastrzeżenia.

Bardzo słusznie bo ja też mam zastrzeżenia ale najbardziej do tego co pisze a4Karo... bo Twoje są dydaktyczne..., lecz do kilku się odniosę bo na tym polega merytoryczna dyskusja:

Jednak w przykładzie z załącznika wystarczy złożyć figurę względem linii pionowej aby zobaczyć iż pola nie są równe.

To jest figura nieskończona...więc jakbyś ją nie kroił i tak każde pole i obwód będzie nieskończone...

czym jest figura w geometrii.

No właśnie czym wysil się...

Z ciekawości postanowiłem obstawić taką planszę, i pierwsza (i jedyna) moja próba dała mi 7 hetmanów.

Możliwe, że właśnie jest...

Ja się przy swojej dziewiątce nie upieram bo ta szachownica to dla mnie jest wielce podejrzana...
Zresztą bardzo dobrze ja dałem 9 Ty 7 może ktoś zejdzie jeszcze niżej tam ma być...(zapytałbym nawet czy na normalnej szachownicy to samo zachodzi a druga sprawa to taka, że nie wiem do końca jak pracuje wieża na tej zadaniowej szachownicy, jest tu sporo znaków zapytania...

@mol_ksiazkowy
Tak z ciekawości - dziękujesz za posty, czy za ich zawartość. Pytam, bo widzę, że czasem dziękujesz za totalne bzdury.

Gwoli ścisłości Mol mi nie dziękował za te ostatnie rzeczy co skleciłem na kolanie tylko za dwa pierwsze zadania...

Za takie coś to ja sobie bym nawet nie życzył podziękowań...więc czytaj ciut uważniej bo sam widzę wypowiadasz rewelacje często mało spójne...

Każda uwaga i dyskusja jest dobrze przyjęta byle nie to co piszesz bo to bez sensu...

\(\displaystyle{ K_{4} }\) jest planarny i '' każdy wierzchołek ma stopień co najwyżej cztery'', a mimo nie jest to graf do którego wystarczą trzy kolory.

Tylko zauważ, że \(\displaystyle{ K_{4}}\) ma wklęsłą ścianę a ten ich nie ma...

arek1357 zapomniał czym jest figura w geometrii.

Właśnie sobie przypomniałem: "Jest to dowolny zbiór punktów na płaszczyźnie" (figura płaska) więc moja jak najbardziej spełnia tę definicję, a poza tym:

\(\displaystyle{ \infty :2= \infty }\)

Co tym bardziej okazuje się słuszne, jak zmienią się warunki zadania to wtedy można i zmieniać odpowiedzi...
Zwykle odpowiadający zużywa jak najmniej energii na odpowiedź, ale tak aby odpowiedź zmieściła się w strukturach zadania...

arek1357 pisze: ↑2 mar 2024, o 16:17

Jednak w przykładzie z załącznika wystarczy złożyć figurę względem linii pionowej aby zobaczyć iż pola nie są równe.

To jest figura nieskończona...więc jakbyś ją nie kroił i tak każde pole i obwód będzie nieskończone...

Dodano po 1 minucie 2 sekundach:

czym jest figura w geometrii.

No właśnie czym wysil się...

To co powiesz na to, że pole Twojej figury każda prosta dzieli w stosunku `3:5` a obwód w stosunku odwrotnym.

Dodano po 53 sekundach:

Z ciekawości postanowiłem obstawić taką planszę, i pierwsza (i jedyna) moja próba dała mi 7 hetmanów.

Możliwe, że właśnie jest...

Ja się przy swojej dziewiątce nie upieram bo ta szachownica to dla mnie jest wielce podejrzana...

Tyle raz już Ci pisałem, żę najpierw się myśli, potem się pisze, potem się czyta to, co się napisało, a potem kasuje się bzdury, które się przeczytało.

Nie raz już na tym forum podawałeś "rozwiązania" które rozwiązaniami nie były, po czym upierałeś się, że masz rację. Tym razem okazuje się, że "się nie upierasz". Skoro tak, to po co w ogóle piszesz cokolwiek. Czyzbyś zapomniał, że w matematyce liczą się dowody a nie przekonania?

Dodano po 9 minutach 33 sekundach:

@mol_ksiazkowy
Tak z ciekawości - dziękujesz za posty, czy za ich zawartość. Pytam, bo widzę, że czasem dziękujesz za totalne bzdury.

Gwoli ścisłości Mol mi nie dziękował za te ostatnie rzeczy co skleciłem na kolanie tylko za dwa pierwsze zadania...

Za takie coś to ja sobie bym nawet nie życzył podziękowań...więc czytaj ciut uważniej bo sam widzę wypowiadasz rewelacje często mało spójne...

Każda uwaga i dyskusja jest dobrze przyjęta byle nie to co piszesz bo to bez sensu...

Dodano po 7 minutach 31 sekundach:
\(\displaystyle{ K_{4} }\) jest planarny i '' każdy wierzchołek ma stopień co najwyżej cztery'', a mimo nie jest to graf do którego wystarczą trzy kolory.

Tylko zauważ, że \(\displaystyle{ K_{4}}\) ma wklęsłą ścianę a ten ich nie ma...

Ale swój wniosek wyciągnąłeś nie korzystając z tego argumentu, wiec kontrprzykład jest jak najbardziej na miejscu