[MIX] Mix na bezsenność
: 25 lut 2024, o 19:46
1. Jak podzielić sześcian na sześć przystających czworościanów ?
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \tg(72^\circ) = \tg(66^\circ) + \tg(36^\circ)+ \tg(6^\circ).}\)
3. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+ y^2=2 \\ \frac{x^2}{2-y}+ \frac{y^2}{2-x}=2. \end{cases}}\)
Nowa Zelandia
4. Czy trójwymiarowa przestrzeń jest sumą rozłącznych okręgów ?
5. W pola szachownicy \(\displaystyle{ n \times n }\) wpisane są liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n^2 }\) tak, że liczby z dowolnych pól o wspólnym boku różnią się o co najwyżej \(\displaystyle{ n }\).
Udowodnić, że istnieje czteropolowy kwadrat o równych sumach liczb z pól obu jego przekątnych.
6. Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ }\) taka, że \(\displaystyle{ f ( f(x) )=x+1 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \ZZ }\) ?
Uwagi:
\(\displaystyle{ \ZZ }\) to zbiór liczb całkowitych.
Norwegia
7. Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ \phi(n) \sigma(n)= (n-3)(n+1)}\) jest równoważe temu, że \(\displaystyle{ n }\) jest iloczynem bliźniaczych liczb pierwszych.
Uwagi: \(\displaystyle{ \sigma(n) = \sum_{d |n} d }\) i \(\displaystyle{ \phi(n) }\) to funkcja Eulera.
8. Autobus ma dwanaście przystanków i jest w nim dwadzieścia miejsc. Ilu co najwyżej pasażerów może przewieźć autobus, jeśli żadnych dwóch z nich nie wsiada i wysiada jednocześnie ?
9. W rombie o kącie ostrym \(\displaystyle{ 60^\circ }\) każdy bok podzielono na \(\displaystyle{ 9}\) równych części. Przez punkty podziału narysowano trzy rodzaje prostych: te równoległe do jednego z boków i do drugiego i te równoległe do krótszej przekątnej.
W ten sposób powstała romboidalna szachownica o trójkątnych polach. Jaka jest najmniejsza liczba hetmanów, które można ustawić tak, aby biły każde pole szachownicy ?
10. lemat o grupie
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ Z(G) }\) jest centrum grupy \(\displaystyle{ G }\), zaś \(\displaystyle{ H }\) jej podgrupą, to \(\displaystyle{ |H/Z(H)| \le |G/Z(G)| }\).
Wykazać też, że jeśli grupa \(\displaystyle{ G/Z(G) }\) jest skończona, to równość jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ G=H Z(G) }\).
11. Kiedy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=D(x)+D(ax) }\) jest okresową, jesli \(\displaystyle{ a }\) jest liczbą rzeczywistą, i \(\displaystyle{ D}\) jest funkcją Dirichleta ?
12. Ile jest \(\displaystyle{ n }\) literowych słów binarnych, w których nie ma 3-bloków (tj. trzech jedynek bądź trzech zer "pod rząd") ?
13. Czy wielomiany \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ W'}\) mogą mieć wspólny pierwiastek, jeśli \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych ?
14. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \frac{1}{x})+ f(y+ \frac{1}{y}) = f(x+ \frac{1}{y})+ f(y+ \frac{1}{x})}\)
dla \(\displaystyle{ x,y >0. }\)
Uwagi: \(\displaystyle{ f }\) jest określone na \(\displaystyle{ (0, \infty). }\)
Rosja
15. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= (1+y^{\prime})x+ (y^{\prime})^2 \\ y(2)=2. \end{cases}}\)
16. Na płaszczyźnie jest figura \(\displaystyle{ F }\), o tej własności:
Istnieje punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że dowolna prosta \(\displaystyle{ l }\), do której należy \(\displaystyle{ X }\) dzieli \(\displaystyle{ F }\) na dwie części o równych polach i obwodach.
Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ F }\) ma środek symetrii ?
17. Niech \(\displaystyle{ k}\) bedzie okręgiem i \(\displaystyle{ AB}\) jego średnicą . Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na przedłużeniu \(\displaystyle{ AB }\) a także \(\displaystyle{ CN }\) jest styczną do okręgu. Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACN }\) ma punkty wspólne z \(\displaystyle{ AN }\) i \(\displaystyle{ BN}\) tj. \(\displaystyle{ P }\) i \(\displaystyle{ Q }\). Wykazać, że trójkąt \(\displaystyle{ PQN }\) jest równoramienny.
Norwegia
18. \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją określoną na odcinku \(\displaystyle{ [0,1] }\) i o wartościach dodatnich, oraz \(\displaystyle{ f(x)f(1-x)=1 }\) gdy \(\displaystyle{ x \in [0,1] }\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) dx \ge 1.}\)
19. Problem pchły
W chwili \(\displaystyle{ t=0 }\) pchła jest w punkcie \(\displaystyle{ x=0 }\) i co każdą minutę może podjąć jedną z trzech decyzji: zostać na miejscu lub przeskoczyć o odcinek jednostkowy w prawo bądź w lewo, jednakże po \(\displaystyle{ p-1 }\) minutach ma wrócić do początku, tj. do zera (\(\displaystyle{ p }\) jest liczbą pierwszą). Wyznaczyć ilość wszystkich strategii \(\displaystyle{ f(p) }\) modulo \(\displaystyle{ p }\), które realizują ten cel.
20. Dany jest zbiór prostych na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie mają punktu wspólnego (nie są współpękowe). Graf zadany przez te proste to taki, w którym wierzchołki to punkty przecięcia, krawędzie łączą dwa sąsiednie wierzchołki na jednej prostej). Udowodnić, że tak zadany graf planarny jest 3–kolorowalny.
21. Wykazać, że jeśli cztery różne punkty są współliniowe, to istnieje kwadrat taki, że dwa z tych punktów są na dwóch nierównoległych bokach tego kwadratu, a pozostałe dwa punkty są na przedłużeniach dwóch innych boków kwadratu.
22. Wylosowano trzy liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,2] }\), Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między największą a najmniejszą z nich jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\) ?
23. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{8^x-2^x}{6^x - 3^x}= 2.}\)
24. Kiedy jest możliwym narysować łamaną o początku i końcu w środkach dwóch różnych pól kwadratowej planszy, w taki sposób, aby przecinała ona każde jej pole tylko raz ?
25. Wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y, z}\) z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-yz=1 \\ y-xz=5 \\ z-xy=1. \end{cases}}\)
26. Udowodnić, że dowolna prosta różna od osi układu współrzędnych przecina co najmniej dwie, ale co najwyżej trzy jego ćwiartki.
27. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest na boku \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ AD=2}\) i \(\displaystyle{ DB=1}\), kąty \(\displaystyle{ CBA}\) i \(\displaystyle{ CDA}\) są równe \(\displaystyle{ 45^\circ}\) i \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Wyznazyć kąt \(\displaystyle{ CAB}\).
28. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2}+...+ \frac{1}{x-2024} }\) i \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}+...+ \frac{1}{x-2023} }\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ |f(x)- g(x)| >2 }\) gdy \(\displaystyle{ 0 < x < 2024}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą całkowitą.
29. Wskazać geometryczną interpretację tożsamości
\(\displaystyle{ (ma+nb)(na+mb)= (m+n)^2 ab+ mn(a-b)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n }\) są liczbami naturalnymi.
30. Ruchome schody podnoszą z dołu do góry stojącego człowieka w czasie \(\displaystyle{ t=1}\) minuty. Gdy schody są nieruchome człowiek wchodzi po nich w czasie \(\displaystyle{ t= 3}\) minuty. Ile czasu potrzebuje by wejść on po ruchomych schodach ?
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \tg(72^\circ) = \tg(66^\circ) + \tg(36^\circ)+ \tg(6^\circ).}\)
3. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+ y^2=2 \\ \frac{x^2}{2-y}+ \frac{y^2}{2-x}=2. \end{cases}}\)
Nowa Zelandia
4. Czy trójwymiarowa przestrzeń jest sumą rozłącznych okręgów ?
5. W pola szachownicy \(\displaystyle{ n \times n }\) wpisane są liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n^2 }\) tak, że liczby z dowolnych pól o wspólnym boku różnią się o co najwyżej \(\displaystyle{ n }\).
Udowodnić, że istnieje czteropolowy kwadrat o równych sumach liczb z pól obu jego przekątnych.
6. Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ }\) taka, że \(\displaystyle{ f ( f(x) )=x+1 }\) dla \(\displaystyle{ x \in \ZZ }\) ?
Uwagi:
\(\displaystyle{ \ZZ }\) to zbiór liczb całkowitych.
Norwegia
7. Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ \phi(n) \sigma(n)= (n-3)(n+1)}\) jest równoważe temu, że \(\displaystyle{ n }\) jest iloczynem bliźniaczych liczb pierwszych.
Uwagi: \(\displaystyle{ \sigma(n) = \sum_{d |n} d }\) i \(\displaystyle{ \phi(n) }\) to funkcja Eulera.
8. Autobus ma dwanaście przystanków i jest w nim dwadzieścia miejsc. Ilu co najwyżej pasażerów może przewieźć autobus, jeśli żadnych dwóch z nich nie wsiada i wysiada jednocześnie ?
9. W rombie o kącie ostrym \(\displaystyle{ 60^\circ }\) każdy bok podzielono na \(\displaystyle{ 9}\) równych części. Przez punkty podziału narysowano trzy rodzaje prostych: te równoległe do jednego z boków i do drugiego i te równoległe do krótszej przekątnej.
W ten sposób powstała romboidalna szachownica o trójkątnych polach. Jaka jest najmniejsza liczba hetmanów, które można ustawić tak, aby biły każde pole szachownicy ?
10. lemat o grupie
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ Z(G) }\) jest centrum grupy \(\displaystyle{ G }\), zaś \(\displaystyle{ H }\) jej podgrupą, to \(\displaystyle{ |H/Z(H)| \le |G/Z(G)| }\).
Wykazać też, że jeśli grupa \(\displaystyle{ G/Z(G) }\) jest skończona, to równość jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ G=H Z(G) }\).
11. Kiedy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=D(x)+D(ax) }\) jest okresową, jesli \(\displaystyle{ a }\) jest liczbą rzeczywistą, i \(\displaystyle{ D}\) jest funkcją Dirichleta ?
12. Ile jest \(\displaystyle{ n }\) literowych słów binarnych, w których nie ma 3-bloków (tj. trzech jedynek bądź trzech zer "pod rząd") ?
13. Czy wielomiany \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ W'}\) mogą mieć wspólny pierwiastek, jeśli \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych ?
14. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) jeśli \(\displaystyle{ f(x+ \frac{1}{x})+ f(y+ \frac{1}{y}) = f(x+ \frac{1}{y})+ f(y+ \frac{1}{x})}\)
dla \(\displaystyle{ x,y >0. }\)
Uwagi: \(\displaystyle{ f }\) jest określone na \(\displaystyle{ (0, \infty). }\)
Rosja
15. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= (1+y^{\prime})x+ (y^{\prime})^2 \\ y(2)=2. \end{cases}}\)
16. Na płaszczyźnie jest figura \(\displaystyle{ F }\), o tej własności:
Istnieje punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że dowolna prosta \(\displaystyle{ l }\), do której należy \(\displaystyle{ X }\) dzieli \(\displaystyle{ F }\) na dwie części o równych polach i obwodach.
Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ F }\) ma środek symetrii ?
17. Niech \(\displaystyle{ k}\) bedzie okręgiem i \(\displaystyle{ AB}\) jego średnicą . Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na przedłużeniu \(\displaystyle{ AB }\) a także \(\displaystyle{ CN }\) jest styczną do okręgu. Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACN }\) ma punkty wspólne z \(\displaystyle{ AN }\) i \(\displaystyle{ BN}\) tj. \(\displaystyle{ P }\) i \(\displaystyle{ Q }\). Wykazać, że trójkąt \(\displaystyle{ PQN }\) jest równoramienny.
Norwegia
18. \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją określoną na odcinku \(\displaystyle{ [0,1] }\) i o wartościach dodatnich, oraz \(\displaystyle{ f(x)f(1-x)=1 }\) gdy \(\displaystyle{ x \in [0,1] }\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x) dx \ge 1.}\)
19. Problem pchły
W chwili \(\displaystyle{ t=0 }\) pchła jest w punkcie \(\displaystyle{ x=0 }\) i co każdą minutę może podjąć jedną z trzech decyzji: zostać na miejscu lub przeskoczyć o odcinek jednostkowy w prawo bądź w lewo, jednakże po \(\displaystyle{ p-1 }\) minutach ma wrócić do początku, tj. do zera (\(\displaystyle{ p }\) jest liczbą pierwszą). Wyznaczyć ilość wszystkich strategii \(\displaystyle{ f(p) }\) modulo \(\displaystyle{ p }\), które realizują ten cel.
20. Dany jest zbiór prostych na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie mają punktu wspólnego (nie są współpękowe). Graf zadany przez te proste to taki, w którym wierzchołki to punkty przecięcia, krawędzie łączą dwa sąsiednie wierzchołki na jednej prostej). Udowodnić, że tak zadany graf planarny jest 3–kolorowalny.
21. Wykazać, że jeśli cztery różne punkty są współliniowe, to istnieje kwadrat taki, że dwa z tych punktów są na dwóch nierównoległych bokach tego kwadratu, a pozostałe dwa punkty są na przedłużeniach dwóch innych boków kwadratu.
22. Wylosowano trzy liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,2] }\), Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między największą a najmniejszą z nich jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\) ?
23. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{8^x-2^x}{6^x - 3^x}= 2.}\)
24. Kiedy jest możliwym narysować łamaną o początku i końcu w środkach dwóch różnych pól kwadratowej planszy, w taki sposób, aby przecinała ona każde jej pole tylko raz ?
25. Wyznaczyć \(\displaystyle{ x,y, z}\) z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-yz=1 \\ y-xz=5 \\ z-xy=1. \end{cases}}\)
26. Udowodnić, że dowolna prosta różna od osi układu współrzędnych przecina co najmniej dwie, ale co najwyżej trzy jego ćwiartki.
27. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest na boku \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ AD=2}\) i \(\displaystyle{ DB=1}\), kąty \(\displaystyle{ CBA}\) i \(\displaystyle{ CDA}\) są równe \(\displaystyle{ 45^\circ}\) i \(\displaystyle{ 60^\circ}\). Wyznazyć kąt \(\displaystyle{ CAB}\).
28. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2}+...+ \frac{1}{x-2024} }\) i \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}+...+ \frac{1}{x-2023} }\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ |f(x)- g(x)| >2 }\) gdy \(\displaystyle{ 0 < x < 2024}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą całkowitą.
29. Wskazać geometryczną interpretację tożsamości
\(\displaystyle{ (ma+nb)(na+mb)= (m+n)^2 ab+ mn(a-b)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n }\) są liczbami naturalnymi.
30. Ruchome schody podnoszą z dołu do góry stojącego człowieka w czasie \(\displaystyle{ t=1}\) minuty. Gdy schody są nieruchome człowiek wchodzi po nich w czasie \(\displaystyle{ t= 3}\) minuty. Ile czasu potrzebuje by wejść on po ruchomych schodach ?