Matematyka.pl

Cześć! Mam problem z następującym zadaniem:

Przez środek \(\displaystyle{ S}\) wysokości \(\displaystyle{ CD}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) i wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) poprowadzono prostą przecinającą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Wiedząc, że długość \(\displaystyle{ CS}\) jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu \(\displaystyle{ AS}\) i \(\displaystyle{ SE}\) wykaż, że \(\displaystyle{ S}\) pokrywa się z ortocentrum trójkąta.

Wiem, że ortocentrum leży na przecięciu wysokości, zatem odcinek \(\displaystyle{ AE}\) również musi być wysokością tego trójkąta. Nie wiem jednak jak ruszyć to dalej. Będę wdzięczna za jakąś podpowiedź...

\(\displaystyle{ |CS|=\sqrt{|AS|\cdot |SE|}}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{xy}}\)
\(\displaystyle{ h^2=xy}\)

Z trójkąta ADS
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{h}{x}}\)

Z twierdzenia cosunusów dla trójkąta SEC
\(\displaystyle{ t^2=h^2+y^2-2hycos\alpha\\
t^2=h^2+y^2-2hy\cdot \frac{h}{x}\\
t^2=h^2+y^2-\frac{2h^2y}{x}\\
t^2=h^2+y^2-\frac{2xy\cdot y}{x}\\
t^2=h^2+y^2-2y^2\\
t^2=h^2-y^2\\
h^2=t^2+y^2}\)


Trójkąt \(\displaystyle{ SEC}\) jest prostokątny.
\(\displaystyle{ |\angle SEC|=90^o.}\)
\(\displaystyle{ AE}\) jest wysokością opuszczoną na bok \(\displaystyle{ BC}\).