Matematyka.pl

Do dwóch jednakowych naczyń w kształcie walca włożono dwie bryły. Do naczyń tych wlewa się z jednakową intensywnością woda. Udowodnić, że jeśli w każdej chwili poziom wody w obu naczyniach był jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych wysokościach są równe.

Można przyjąć, że:

\(\displaystyle{ S_{1}(x)}\) - pole przekroju walca na zewnątrz wrzuconej do środka figury w pierwszym walcu na wysokości - \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ S_{2}(x)}\) - pole przekroju walca na zewnątrz wrzuconej do środka figury w drugim walcu na wysokości - \(\displaystyle{ x}\)

oczywiście pola wewnątrz figury odpowiednio to:

\(\displaystyle{ P_{1}(x)= \pi r^2-S_{1}(x)}\)

oraz:

\(\displaystyle{ P_{2}(x)= \pi r^2-S_{2}(x)}\)

Objętości wody w obu walcach są takie same i wynoszą:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} S_{1}(x)dx \int_{0}^{x} S_{2}(x)dx}\)

po obustronnym zróżniczkowaniu otrzymamy (tw. o górnej granicy całkowania):

\(\displaystyle{ S_{1}(x) = S_{2}(x)}\)

więc pola przekrojów poza figurami są takie same, a co za tym idzie mamy:

\(\displaystyle{ P_{1}(x)= \pi r^2-S_{1}(x)=P_{2}(x)= \pi r^2-S_{2}(x)}\)

a więc pola przekrojów obu figur są takie samo na każdej wysokości bo:

\(\displaystyle{ P_{1}(x)= P_{2}(x)}\)

cnd...

To rozwiązanie korzysta z reguły Cavallieri'ego i (podobnie jak zadanie) jest jedynie częściowo poprawne. Jeżeli bowiem bryły mogą pływać, to część zanurzona musi mieć takie same przekroje, ale to, co wystaje ponad wodę może być jakiekolwiek.

No trzeba założyć, że te bryły w walcu są w takim razie z ołowiu bo drewno to lipa...

Lipa:

Dość łatwo można podać kontrprzykład, gdyż w zadaniu nie ma zastrzeżenia, że krany otwarto w tej samej chwili.
Niech w pierwszym naczyniu woda spływa po bryle, a w drugim strumień spadającej wody nie dotyka bryły.
Jeśli kształt brył i opóźnienie otwarcia drugiego kranu są tak dobrane, że w każdej chwili poziom wody w obu naczyniach jest jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych wysokościach nigdy nie są równe.

Jeżeli kranów nie otwarto w tej samej chwili, to woda nie wlewała się z jednakową intensywnością, nieprawdaż?

Prawdopodobnie różnie rozumiemy fragment ''do naczyń tych wlewa się z jednakową intensywnością woda''.
Dla mnie to stała ilość wody w jednostce czasu podczas wlewania, np dwa litry na minutę, i nie ma nic wspólnego z czasem otwarcia kranów. Podobnie jak dwa przelotne deszcze mogły być równie intensywnie, choć padały w różnych dniach i opad trwał różną ilość czasu.

A jak jeszcze woda zacznie rozpuszczać bryłę....

To jest jednak kawałek soli albo cukru...