jeśli dla trzech liczb rzeczywistych suma ich odwrotności.

[mezyk_wezyk]

Proszę, by ktoś nakierował mnie na rozwiązanie pewnego łatwego zadania. Mam jakąś niemoc, której nie mogę przełamać

1. Wykaż, że jeśli dla trzech liczb rzeczywistych suma ich odwrotności jest równa odwrotności ich sumy, to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi

[mol_ksiazkowy]

masz ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}}\)
wiec
\(\displaystyle{ (ab+ac+bc)(a+b+c) \\ -abc=0}\)
co da:
\(\displaystyle{ (a+c)(a+b)(b+c)=0}\)

[fanch]

może ktoś pokazać jak z \(\displaystyle{ (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc}\) zrobić to \(\displaystyle{ (a+c)(a+b)(b+c)}\)

odgrzebuje temat, bo własnie na takim zadanku utknąłem .

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc = 2abc+ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c=a(b+c)^2+a^2(b+c)+bc(b+c)=}\)
\(\displaystyle{ (b+c)(a(b+c)+a^2+bc)=(b+c)(ab+ac+a^2+bc)=(b+c)(a(b+a)+c(b+a))=(b+c)(b+a)(a+c)}\).