Strona 1 z 1
Szereg iloczynu
: 20 lut 2024, o 22:08
autor: Niepokonana
Proszę pomóżcie.
Mam szereg *zespolony* \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} a^{i}b_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ |a|<1}\) i mamy udowodnić, że jest on zbieżny.
\(\displaystyle{ a^{i}}\) to jest szereg geometryczny a sam \(\displaystyle{ b_{i}}\) jest zbieżny, tylko nie wiadomo, czy szereg iloczynu tych ciągów jest zbieżny.
I pytanie czy ja mogę rozbić to na iloczyn dwóch szeregów? Po prostu badać zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^ { \infty } a^{i} \sum_{i=1}^{ \infty } b_{i}}\) i napisać, że to jest to samo? Bo wtedy się to dość mocno upraszcza. Ale nie pamiętam analizy 2...
Re: Szereg iloczynu
: 20 lut 2024, o 22:25
autor: Premislav
Tu akurat możesz zbadać zbieżność bezwzględną i jesteś nawet w analizie 1 wtedy. Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ i}\) będzie \(\displaystyle{ |b_i|<1}\), bo skoro szereg \(\displaystyle{ \sum b_i }\) jest zbieżny, to spełnia warunek konieczny, czyli ciąg wyrazów zbiega do zera. I masz szacowanie przez wyrazy zbieżnego szeregu geometrycznego.
Tak, jak napisałaś, to nie możesz rozbić, wiesz, że dzwoni, ale nie wiesz, w którym kościele. Było takie twierdzenie Mertensa, ale ono się tyczyło iloczynu Cauchy'ego szeregów, a tu nie mamy iloczynu Cauchy'ego szeregów \(\displaystyle{ \sum a^i, \ \sum b_i}\), bo on miałby taką postać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^n a^i b_{n-i}}\).
Re: Szereg iloczynu
: 21 lut 2024, o 01:19
autor: timon92
@Pszemek, przypuszczam, że założenia są trochę słabsze, tzn. zakładamy jedynie, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest zbieżny, a nie, że szereg \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) jest zbieżny
Twój pomysł dalej działa i tak naprawdę wystarczy zakładać, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest ograniczony
Re: Szereg iloczynu
: 21 lut 2024, o 04:56
autor: Niepokonana
Premislav pisze: ↑20 lut 2024, o 22:25
Tu akurat możesz zbadać zbieżność bezwzględną i jesteś nawet w analizie 1 wtedy. Dla dostatecznie dużych
\(\displaystyle{ i}\) będzie
\(\displaystyle{ |b_i|<1}\), bo skoro szereg
\(\displaystyle{ \sum b_i }\) jest zbieżny, to spełnia warunek konieczny, czyli ciąg wyrazów zbiega do zera. I masz szacowanie przez wyrazy zbieżnego szeregu geometrycznego.
Tak, jak napisałaś, to nie możesz rozbić, wiesz, że dzwoni, ale nie wiesz, w którym kościele. Było takie twierdzenie Mertensa, ale ono się tyczyło iloczynu Cauchy'ego szeregów, a tu nie mamy iloczynu Cauchy'ego szeregów
\(\displaystyle{ \sum a^i, \ \sum b_i}\), bo on miałby taką postać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^n a^i b_{n-i}}\).
Ej, czekaj, źle spojrzałam faktycznie tam jest
\(\displaystyle{ b_{n-i}}\) dla pewnego bliżej nieznanego
\(\displaystyle{ n}\) całkowitego.